1. Запишите несколько различных логических выражений, которые тождественно равны
а) 0; б) 1; в) А + В; г) А - В; д) А -> В.
а) 0: A * ¬A, A * 0, ¬A * A б) 1: A + ¬A, A * 1 + ¬A * 1, 1 * (A + ¬A) в) A + B: B + A, ¬(¬A * ¬B), A * 1 + B * 1 г) A * B: B * A, ¬(¬A + ¬B), A * (B + 0) д) A -> B: ¬A + B, ¬(A * ¬B)
2. Докажите законы де Моргана с помощью таблиц истинности.
Для доказательства законов де Моргана через таблицу истинности рассмотрим закон ¬(A * B) = ¬A + ¬B.
A B A * B ¬(A * B) ¬A ¬B ¬A + ¬B 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Для закона ¬(A + B) = ¬A * ¬B:
A B A + B ¬(A + B) ¬A ¬B ¬A * ¬B 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 В обеих таблицах значения в столбце с левой частью выражения совпадают со значениями в столбце с правой частью, что подтверждает истинность законов.
3. Сравните законы алгебры логики и правила преобразования выражений в алгебре. Найдите сходства и различия.
Законы алгебры логики и правила преобразования выражений в обычной алгебре имеют следующие сходства:
Ассоциативность: перестановка скобок не меняет результата (например, A + (B + C) = (A + B) + C). Коммутативность: порядок операндов не влияет на результат (например, A + B = B + A). Распределительный закон: A(B + C) = AB + AC. Различия:
Алгебра логики работает с бинарными значениями (0 и 1), обычная алгебра — с числами. В логике сложение означает «ИЛИ», умножение — «И».
4. Объясните различие между логическими выражениями ¬(АВ) и ¬А¬В.
Выражение ¬(A ∙ B) означает, что операция «И» между A и B ложна. Выражение ¬A ∙ ¬B означает, что и A, и B одновременно ложны.
5. Запишите законы де Моргана для выражений
а) ¬(ABCD); б) ¬(A + B + C + D); в) ¬(AB + CD).
а) ¬(A ∙ B ∙ C ∙ D) = ¬A + ¬B + ¬C + ¬D б) ¬(A + B + C + D) = ¬A ∙ ¬B ∙ ¬C ∙ ¬D в) ¬(AB + CD) = (¬A + ¬B) ∙ (¬C + ¬D)