1. Сравните понятия «логическая функция» и «логическое вы-ражение».
Логическая функция — это зависимость, определяющая соответствие между наборами входных логических переменных и результатом (истинно или ложно). Логическое выражение — это формула, составленная из логических переменных, констант, операций и скобок, которая вычисляет значение логической функции. Иными словами, логическое выражение — это способ записи логической функции.
2. Можно ли сказать, что таблица истинности полностью определяет логическое выражение? Ответ обоснуйте.
Таблица истинности полностью определяет логическую функцию, но не выражение. Логическую функцию можно записать разными логическими выражениями, которые дают одинаковые результаты в таблице истинности. Таким образом, таблица истинности однозначно определяет функцию, но не её форму записи.
3. Сравните представления логического выражения в виде формулы и в виде дерева. Укажите достоинства и недостатки каждой из форм.
Формула компактна, удобна для записи и вычислений. Однако сложные формулы могут быть трудны для визуального анализа. Дерево, в отличие от формулы, наглядно отображает структуру операций, их приоритеты и порядок выполнения, что упрощает понимание. Недостатком дерева является его громоздкость для больших выражений.
4. При каких значениях переменных логическое выражение X1 • ¬Х2 • ¬Х3 • Х4 истинно? При каких оно ложно?
Истинность выражения (равно 1) достигается, если: X1 = 1, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 1.
Ложность выражения (равно 0) наступает при любом другом наборе значений X1, X2, X3 и X4.
5. При каких значениях переменных логическое выражение X1 + Х2 + ¬Х3 + ¬Х4 ложно? При каких оно истинно?
Ложность выражения (равно 0) возможна, только если все составляющие равны 0. Это происходит при: X1 = 0, X2 = 0, X3 = 1, X4 = 1.
Истинность выражения (равно 1) возникает при любом другом наборе значений переменных.
6. Задано 5 строк таблицы истинности некоторого логического выражения с тремя переменными. Сколько различных логических функций соответствуют этой неполной таблице истинности?
Полная таблица истинности для трёх переменных (X1, X2, X3) содержит 8 строк. Если определены 5 строк, остаётся 3 строки с неизвестными значениями. Каждая из них может быть равна либо 0, либо 1 (2 варианта). Количество возможных логических функций равно 2^3=8.
*7. Приведите пример логического выражения с пятью переменными, у которого в таблице истинности:
а) две единицы, а остальные — нули;
б) два нуля, а остальные — единицы.
Для составления примеров логических выражений с пятью переменными, соответствующих указанным условиям, следует учитывать, что в таблице истинности всего 2⁵ = 32 строки, каждая из которых соответствует одному набору значений переменных X1, X2, X3, X4, X5.
а) Логическое выражение, у которого только две строки равны 1, а остальные равны 0:
Чтобы построить такое выражение, выберем две строки, для которых результат должен быть равен 1. Например, пусть единицы соответствуют наборам переменных:
X1 = 1, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 1, X5 = 1 (строка 1); X1 = 0, X2 = 1, X3 = 1, X4 = 0, X5 = 1 (строка 2). Логическое выражение будет представлено в виде суммы конъюнкций (логического И): F = (X1 * ¬X2 * ¬X3 * X4 * X5) + (¬X1 * X2 * X3 * ¬X4 * X5).
Каждая конъюнкция представляет конкретный набор значений переменных, где результат равен 1. Во всех других случаях значение функции будет 0.
б) Логическое выражение, у которого только две строки равны 0, а остальные равны 1:
Чтобы построить такое выражение, выберем две строки, для которых результат должен быть равен 0. Например, пусть нули соответствуют наборам переменных:
X1 = 1, X2 = 1, X3 = 0, X4 = 1, X5 = 0 (строка 1); X1 = 0, X2 = 0, X3 = 1, X4 = 0, X5 = 1 (строка 2). Логическое выражение будет отрицанием суммы конъюнкций, где каждая конъюнкция соответствует набору с результатом 0: F = ¬((X1 * X2 * ¬X3 * X4 * ¬X5) + (¬X1 * ¬X2 * X3 * ¬X4 * X5)).
Во всех других случаях значение функции будет 1.