1. Дано высказывание «Винни-Пух любит мёд, и дверь в дом открыта». Как бы вы сформулировали отрицание этого высказывания?
Отрицание высказывания “Винни-Пух любит мёд, и дверь в дом открыта” будет сформулировано так: “Неверно, что Винни-Пух любит мёд, и дверь в дом открыта” или же “Винни-Пух не любит мёд, или дверь в дом не открыта”. (По закону де Моргана).
2. Почему таблица истинности для операции НЕ содержит две строки, а таблицы для других изученных операций — четыре? Сколько строк в таблице истинности выражения с тремя переменными? С четырьмя? С пятью?
Таблица истинности для операции НЕ содержит две строки, так как у этой операции один операнд (одна переменная), который может принимать только два значения: ИСТИНА или ЛОЖЬ.
Таблицы истинности для других изученных операций (И, ИЛИ, XOR, импликация и эквивалентность) содержат четыре строки, так как у этих операций два операнда (две переменные), каждая из которых может принимать два значения, следовательно, существует 2^2=4 возможных комбинации этих значений.
Таблица истинности для выражения с тремя переменными будет содержать 2^3=8 строк. Таблица истинности для выражения с четырьмя переменными будет содержать 2^4=16 строк. Таблица истинности для выражения с пятью переменными будет содержать 2^5=32 строки. В общем случае таблица истинности для логического выражения с n переменными содержит 2^n строк.
3. В чём различие арифметического и логического сложения?
Арифметическое сложение выполняется над числами и дает в результате числовую сумму. Логическое сложение (ИЛИ) выполняется над логическими значениями (ИСТИНА или ЛОЖЬ) и дает в результате логическое значение. Результат истинен, если хотя бы один из операндов истинен.
4. Сколько можно определить различных логических функций с двумя переменными? С тремя переменными?
Количество различных логических функций с n переменными можно определить как 2^(2^n).
С двумя переменными можно определить 2^(2^2) = 2^4 = 16 различных логических функций. С тремя переменными можно определить 2^(2^3) = 2^8 = 256 различных логических функций.
5. Чем отличается операция исключающее ИЛИ от операции ИЛИ?
ИЛИ (дизъюнкция) истинно, если хотя бы один из операндов истинен, включая случай, когда оба операнда истинны. Исключающее ИЛИ (XOR) истинно, если только один из операндов истинен, но ложно, если оба операнда истинны или оба ложны.
6. Почему операция исключающее ИЛИ называется сложением по модулю 2?
Операция исключающее ИЛИ называется сложением по модулю 2, потому что результат XOR можно получить, складывая два логических значения как числа (ИСТИНА = 1, ЛОЖЬ = 0) и беря остаток от деления на 2:
0 + 0 = 0 (mod 2) 0 + 1 = 1 (mod 2) 1 + 0 = 1 (mod 2) 1 + 1 = 0 (mod 2)
7. Как можно доказать или опровергнуть логическое равенство?
Логическое равенство можно доказать или опровергнуть следующими способами:
Построением таблиц истинности: Построить таблицы истинности для обеих частей равенства и сравнить их. Если таблицы истинности совпадают, то равенство верно, иначе – нет. Использованием законов алгебры логики: Упростить обе части выражения, используя законы де Моргана, дистрибутивности, поглощения и т.д. Если после упрощения обе части станут одинаковыми, то равенство верно.
8. Что значит выражение «обратимая операция»? Какие известные вам логические операции обратимы?
Обратимая операция — это операция, для которой существует обратная операция, позволяющая восстановить исходные операнды по результату. Из известных логических операций обратима только НЕ (отрицание). Если применить операцию НЕ дважды, то мы вернемся к исходному значению. Другие операции необратимы (например, зная результат И или ИЛИ мы не можем однозначно восстановить значения операндов).
9. Какое свойство операции исключающее ИЛИ позволяет использовать её для простейшего шифрования?
Операция исключающее ИЛИ (XOR) обладает тем свойством, что повторное применение XOR с тем же ключом восстанавливает исходное сообщение. Это позволяет использовать ее для простейшего шифрования. Сообщение шифруется XORом с ключом, а расшифровывается повторным XOR’ом с тем же ключом.
10. Чем отличается смысл высказывания «если А, то В» в обычной речи и в математической логике?
В обычной речи выражение “если А, то В” часто воспринимается как причинно-следственная связь. В математической логике (импликация) “если А, то В” истинно во всех случаях, кроме одного: когда А истинно, а В ложно. То есть, это условие не подразумевает причинно-следственной связи. Если А ложно, то “если А, то В” всегда истинно, независимо от значения B.
11. Запишите в виде логического выражения высказывание «если утюг горячий, то лоб холодный».
Если утюг горячий (У), а лоб холодный (Л), то логическое выражение будет: У → Л (или ¬У V Л)
12. Запишите в виде логического выражения высказывание «неверно, что если утюг горячий, то лоб холодный». Если это высказывание истинно, можно ли сразу сказать, горячий ли утюг и горячий ли лоб?
Высказывание «неверно, что если утюг горячий, то лоб холодный» можно записать как ¬(У → Л), что равносильно выражению У ∧ ¬Л. Это означает, что утюг горячий (У) и лоб не холодный (¬Л), то есть лоб горячий. Исходя из этого высказывания, можно однозначно сказать, что утюг горячий, а лоб тоже горячий.
13. Чем интересны операции штрих Шеффера и стрелка Пирса?
Штрих Шеффера (логическое отрицание конъюнкции, NAND) и стрелка Пирса (логическое отрицание дизъюнкции, NOR) интересны тем, что любая логическая функция может быть реализована только с помощью этих операций. Они представляют собой базисы для построения любой логической схемы, в том числе и компьютерных процессоров.