1. Если множество X — это множество натуральных чисел, делящихся нацело на 2, а У — множество натуральных чисел, делящихся нацело на 3, то что будет: 1) пересечением этих множеств; 2) объединением этих множеств?
Пересечением этих множеств будет множество натуральных чисел, которые делятся и на 2, и на 3, то есть множество натуральных чисел, которые делятся на 6.
Объединением этих множеств будет множество натуральных чисел, которые делятся либо на 2, либо на 3, либо на то и другое, то есть множество натуральных чисел, которые делятся либо на 2, либо на 3, т. е. множество натуральных чисел, которые делятся на 2 или 3 или на то и другое, то есть множество натуральных чисел, кратных 2 или 3, то есть множество натуральных чисел, которые делятся на 2 и/или 3, то есть множество натуральных чисел, которые делятся на наименьшее общее кратное 2 и 3, равное 6. 2. Пусть множество X — это множество натуральных чисел, делящихся нацело на 18, a Y — множество натуральных чисел, делящихся нацело на 14. Укажите наименьшее число, входящее: 1) в пересечение этих множеств; 2) в объединение этих множеств?
Наименьшее число на пересечении этих множеств — это наименьшее общее кратное 18 и 14, то есть 252. 2 Чтобы найти наименьшее число в объединении этих множеств, нам нужно найти наименьшее общее кратное 18 и 14, что равно 252. Итак, наименьшее число в объединении этих множеств также равно 252.
3. Пусть А, В и С — некоторые множества, обозначенные кругами, U — универсальное множество.
С помощью операций объединения, пересечения и дополнения до универсального множества выразите через А, В и С следующие множества: 1) 1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ 4 ∪ 5 ∪ 6; 2) 2 ∪ 5; 3) 5; 4) 2 ∪ 4 ∪ 5 ∪ 6; 5) 1 ∪ 2 ∪ 3; 6) 8.
Самостоятельно
4. В первую смену в лагере «Дубки» отдыхали: 30 отличников, 28 победителей олимпиад и 42 спортсмена. При этом 10 человек были и отличниками, и победителями олимпиад, 5 — отличниками и спортсменами, 8 — спортсменами и победителями олимпиад, 3 — и отличниками, и спортсменами, и победителями олимпиад. Сколько ребят отдыхало в лагере?
Всего в лагере «Дубки» было 55 воспитанников, так как сумма количества отличников, победителей олимпиад и спортсменов равна 30 + 28 + 42 = 100, а нам нужно вычесть количество учащихся, попавших в более одной категории, чтобы получить фактическое количество студентов. В частности, есть 10 отличников, которые также являются победителями олимпиад, 5, которые также являются спортсменами, и 3, которые являются всеми тремя. Итак, количество уникальных отдыхающих 30 + 28 + 42 - 10 - 5 - 8 + 3 = 80, а общее количество отдыхающих в два раза больше этого числа, или 160.
5. Старшеклассники заполняли анкету с вопросами об экзаменах по выбору. Оказалось, что выбрали они информатику, физику и обществознание. В классе 38 учеников. Обществознание выбрал 21 ученик, причём трое из них выбрали ещё и информатику, а шестеро — ещё и физику. Один ученик выбрал все три предмета. Всего информатику выбрали 13 учеников, пятеро из которых указали в анкете два предмета. Надо определить, сколько же учеников выбрали физику.
Пусть I — множество студентов, выбравших информатику, F — множество студентов, выбравших физику, а S — множество студентов, выбравших обществознание. Мы знаем, что |I| = 13, |I ∩ F| = 5, |I ∩ S| = 3, |F ∩ S| = 6, |I ∩ F ∩ S| = 1, |S| = 21 и |I ∪ F ∪ S| = 38. Мы хотим найти |F ∩ (I ∪ S)|, то есть количество студентов, выбравших физику и хотя бы один из двух других предметов. Чтобы найти это, мы можем использовать принцип включения-исключения: |I ∪ F ∪ S| = |я| + |Ф| + |С| - |I ∩ F| - |I ∩S| - |F ∩ S| + |I ∩ F ∩ S| 38 = 13 + |F| + 21 - 5 - 3 - 6 + 1 38 = |Ф| + 20 |Ф| = 18 Поэтому 18 учеников выбрали физику.
*6. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 — испанский, 75 — немецкий. Сколько человек знают все три языка?
Чтобы найти число людей, знающих все три языка, нам нужно найти пересечение множеств людей, знающих каждый отдельный язык. Для этого можно использовать принцип включения-исключения. Пусть A — множество людей, знающих английский язык, B — множество людей, знающих испанский язык, а C — множество людей, знающих немецкий язык. Тогда у нас есть: |А| = 85, |В| = 80, |С| = 75 |А ∩ В| = ?, |А ∩ С| = ?, |B ∩ C| "=" |А ∩ В ∩ С| "=" Чтобы найти пересечение всех трех множеств, мы можем использовать формулу: |А ∩ В ∩ С| = |А| + |Б| + |С| - |А ∪ В| - |А ∪ С| - |В ∪ С| + |А ∪ В ∪ С| Мы можем найти объединение двух множеств, сложив их размеры и вычтя их пересечение. Например: |А ∪ В| = |А| + |Б| - |А ∩ В| Используя эту формулу, мы получаем: |А ∪ В| = 85 + 80 - |А ∩ В| |А ∪ С| = 85 + 75 - |А ∩ С| |В ∪ С| = 80 + 75 - |B ∩ C| |А ∪ В ∪ С| = |А| + |Б| + |С| - |А ∩ В| - |А ∩ С| - |В ∩ С| + |А ∩ В ∩ С| Мы знаем, что всего 100 человек, поэтому мы можем использовать эту информацию для решения |A ∩ B|, |A ∩ C| и |B ∩ C|: 85 + 80 + 75 - |А ∩ В| - |А ∩ С| - |В ∩ С| + |А ∩ В ∩ С| = 100 Упрощая это уравнение, получаем: |А ∩ В| + |А ∩ С| + |В ∩ С| - |А ∩ В ∩ С| = 40 Мы также знаем, что: |А ∩ В ∩ С| ⩽ |A ∩ B|, |A ∩ B ∩ C| ⩽ |A ∩ C|, |A ∩ B ∩ C| ≤ |В ∩ С| Таким образом, мы можем подставить эти неравенства в приведенное выше уравнение, чтобы получить верхнюю оценку для |A ∩ B ∩ C|: 3|А ∩ В ∩ С| ≤ |А ∩ В| + |А ∩ С| + |В ∩ С| - |А ∩ В ∩ С| = 40 Поэтому: |А ∩ В ∩ С| ≤ 13,33 Поскольку количество людей, знающих все три языка, должно быть целым числом, единственная возможность состоит в том, что: |А ∩ В ∩ С| = 13 Таким образом, 13 человек знают все три языка.