1. Какую скорость в небесной механике называют круговой; параболической; гиперболической?
Круговая скорость — это минимальная скорость, с которой тело может двигаться по круговой орбите вокруг планеты. Для орбиты на уровне поверхности Земли круговая скорость составляет около 7.9 км/с. Она позволяет телу оставаться в орбитальном движении под действием гравитации планеты. Параболическая скорость — это вторая космическая скорость, при которой тело преодолевает гравитационное поле планеты и покидает её, двигаясь по параболической траектории. Для Земли она составляет около 11.2 км/с. Гиперболическая скорость — это любая скорость, превышающая параболическую, позволяющая телу не только покидать гравитационное поле, но и двигаться с ещё большей энергией по гиперболической траектории, постепенно удаляясь от планеты.
2. Как законы Кеплера объясняются законами классической механики?
Законы Кеплера об орбитальном движении планет объясняются законами Ньютона. Первый закон Кеплера, утверждающий, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, объясняется равнодействующей силы гравитации и инерции, которая притягивает планеты к Солнцу, но не заставляет их упасть на него. Второй закон Кеплера, закон площадей, следует из закона сохранения углового момента — величина момента остаётся постоянной, и планета движется быстрее, приближаясь к Солнцу. Третий закон Кеплера, связывающий орбитальные периоды и средние расстояния, также вытекает из закона всемирного тяготения Ньютона, показывая зависимость орбитальной скорости от массы центрального тела.
3. Почему принято говорить, что планета Нептун была открыта на кончике пера»?
Планета Нептун была открыта не визуально, а математически. Французский астроном Урбен Леверье и английский математик Джон Адамс заметили аномалии в движении Урана, которые нельзя было объяснить известными планетами. Проведя расчёты на основании закона всемирного тяготения Ньютона, они предположили наличие ещё одной, не открытой планеты. Эти расчёты, «на кончике пера», указали точное место на небе, где был обнаружен Нептун в 1846 году.
Упражнение 11
1 . С какой скоростью должен двигаться искусственный спутник Земли на высоте 600 км по круговой орбите? Каким будет его период обращения? Средний радиус Земли считать равным 6370 км, а массу — 6 * 10^34 кг.
Найдём силу гравитации, которая действует на спутник, используя формулу гравитации:
F = G * (M * m) / R^2,
где: G — гравитационная постоянная (6.67 * 10^-11 Н·м²/кг²), M — масса Земли (6 * 10^24 кг), m — масса спутника, R — расстояние от центра Земли до спутника. Это будет сумма радиуса Земли (6370 км) и высоты орбиты (600 км).
Итак, полный радиус R = 6370 км + 600 км = 6970 км = 6970000 м.
Подставляем значение силы F в уравнение для центростремительного ускорения, которое обеспечивает спутнику движение по круговой орбите:
F = m * v^2 / R.
После сокращения массы m на обеих сторонах уравнения получаем:
v^2 = G * M / R,
где v — орбитальная скорость спутника. Теперь, чтобы найти скорость, извлекаем корень:
v = √(G * M / R).
Подставим все значения:
v = √((6.67 * 10^-11) * (6 * 10^24) / 6970000).
При вычислении получаем значение скорости, которое приближается к 7579.7 м/с.
Теперь, чтобы найти период обращения T, используем формулу:
T = 2π * R / v,
где: R = 6970000 м (расстояние от центра Земли), v = 7579.7 м/с (найденная орбитальная скорость).
Подставляем значения:
T ≈ 2 * 3.1416 * 6970000 / 7579.7 ≈ 5778 секунд.
Это примерно 1 час и 36 минут.
Таким образом, скорость спутника составляет около 7579.7 м/с, а его период обращения — примерно 1 час и 36 минут.
2 , Рассчитайте скорость движения Марса по орбите вокруг Солнца, считая эту орбиту круговой. Расстояние от Марса до Солнца 228 млн км, масса Солнца 2 * 10^27т.
Для того чтобы рассчитать орбитальную скорость Марса вокруг Солнца, можно воспользоваться формулой для круговой орбиты:
v = √(G * M / R),
где:
v — орбитальная скорость Марса, G — гравитационная постоянная, примерно равная 6.67 * 10^-11 Н·м²/кг², M — масса Солнца, 2 * 10^30 кг (переведём тонны в килограммы, умножив на 10^3), R — расстояние от Марса до Солнца, равное 228 млн км, или 2.28 * 10^11 м. Подставим значения:
Введём данные:
v = √((6.67 * 10^-11) * (2 * 10^30) / (2.28 * 10^11)).
Выполним расчёты:
v ≈ √(1.334 * 10^20 / 2.28 * 10^11), v ≈ √(5.85 * 10^8), v ≈ 2.42 * 10^4 м/с.
Таким образом, скорость движения Марса по орбите вокруг Солнца составляет примерно 24 200 м/с, или 24.2 км/с.
3. Во сколько раз отличаются круговые скорости Сатурна и Земли, если расстояние от Сатурна до Солнца приблизительно в 9,53 раза больше, чем расстояние от Земли до Солнца, а масса Земли примерно в 95,3 раза меньше массы Сатурна?
Для решения используем формулу круговой орбитальной скорости:
где G — гравитационная постоянная, M — масса Солнца, R — расстояние от планеты до Солнца. Нам нужно узнать, во сколько раз скорость Сатурна vₛ меньше скорости Земли vₑ. Чтобы сравнить скорости, выражение для G и M можно сократить. Получается:
vₛ / vₑ = √(Rₑ / Rₛ),
где Rₑ — расстояние от Земли до Солнца, а Rₛ — расстояние от Сатурна до Солнца.
Так как расстояние Сатурна до Солнца больше расстояния Земли в 9,53 раза, то Rₛ = 9.53 * Rₑ. Подставляем это в формулу:
vₛ / vₑ = √(1 / 9.53).
Теперь посчитаем:
√(1 / 9.53) ≈ √0.105. √0.105 ≈ 0.324. Итак, скорость Сатурна примерно в 3.1 раза меньше, чем скорость Земли.