1. Запишите уравнение: а) Клапейрона; б) Менделеева — Клапейрона.
a) Уравнение Клапейрона: p * V = R * T, где p - давление, V - объем, R - газовая постоянная, T - температура.
b) Уравнение Менделеева-Клапейрона: p * V = n * R * T, где n - количество вещества в молях.
2. Какие макроскопические параметры идеального газа связывает между собой уравнение Менделеева — Клапейрона?
Уравнение Менделеева-Клапейрона связывает давление p, объем V, температуру T и количество вещества n.
1. Воздушный шар объёмом 800 м3 наполнен гелием, находящимся при нормальных условиях. На сколько возрастет подъёмная сила шара, если гелий нагреть на 20 К? Считайте, что оболочка не растяжима, нагревание происходит через отверстие в нижней части оболочки шара.
Дано:
V = 800 м³ — объём шара,
T₁ = 273 К — начальная температура,
T₂ = 273 + 20 = 293 К — температура после нагрева,
ρ_в = 1.29 кг/м³ — плотность воздуха,
M_г = 0.004 кг/моль — молярная масса гелия,
R = 8.31 Дж/(моль·К),
g = 9.8 м/с² — ускорение свободного падения.
Найдём плотности гелия до и после нагрева.
Плотность идеального газа:
ρ_г = p * M / (R * T),
где давление
p и температура
T. При нормальных условиях p = 101325 Па.
При T₁:
ρ_г1 = 101325 * 0.004 / (8.31 * 273) ≈ 0.1785 кг/м³.
При T₂:
ρ_г2 = 101325 * 0.004 / (8.31 * 293) ≈ 0.1663 кг/м³.
Разность плотностей гелия:
Δρ_г = ρ_г1 - ρ_г2 ≈ 0.1785 - 0.1663 ≈ 0.0122 кг/м³.
Изменение подъёмной силы.
Подъёмная сила связана с разностью плотностей:
ΔF = Δρ_г * g * V,
Подставим значения:
ΔF = 0.0122 * 9.8 * 800 ≈ 95.1 Н.
Ответ: Подъёмная сила шара возрастёт на 95.1 Н.
2. Воздух, находящийся в упругой оболочке при температуре 20 °С и давлении 10^5 Па, занимает объём 2 л. Какой объём займёт этот воздух под водой на глубине 136 м, на которой температура равна 4 °С?
Для решения задачи используется уравнение состояния идеального газа в форме:
p₁ * V₁ / T₁ = p₂ * V₂ / T₂.
Дано: p₁ = 10⁵ Па, V₁ = 2 л = 2 * 10⁻³ м³, T₁ = 20 °С = 273 + 20 = 293 К, глубина = 136 м, ρ воды = 1000 кг/м³, g = 9.8 м/с², T₂ = 4 °С = 273 + 4 = 277 К.
Найдём давление на глубине: p₂ = p₁ + ρ воды * g * h, p₂ = 10⁵ + 1000 * 9.8 * 136 = 10⁵ + 1.33 * 10⁶ ≈ 1.43 * 10⁶ Па.
Подставим значения в уравнение: p₁ * V₁ / T₁ = p₂ * V₂ / T₂, (10⁵ * 2 * 10⁻³) / 293 = (1.43 * 10⁶ * V₂) / 277.
Выразим V₂: V₂ = (10⁵ * 2 * 10⁻³ * 277) / (293 * 1.43 * 10⁶), V₂ ≈ (554 * 10⁻³) / (418.99 * 10³), V₂ ≈ 0.14 * 10⁻³ м³ = 0.14 л.
Ответ: Под водой на глубине 136 м воздух займёт объём 0.14 л.
3. Баллон, содержащий воздух при температуре 273 К и давлении 103 Па, плотно прикрывает крышка с площадью поверхности 10^-3 м2 и массой 20 кг. До какой температуры нужно нагреть воздух, чтобы он приподнял крышку?
Для решения задачи применяется закон Менделеева-Клапейрона в форме: p₁ / T₁ = p₂ / T₂.
Дано: p₁ = 103 Па, T₁ = 273 К, площадь крышки S = 10⁻³ м², масса крышки m = 20 кг, ускорение свободного падения g = 9.8 м/с².
Найдём давление, необходимое для подъёма крышки: Сила тяжести крышки: F = m * g = 20 * 9.8 = 196 Н. Давление, при котором крышка начнёт подниматься: p₂ = p₁ + F / S = 103 + 196 / 10⁻³ = 103 + 1.96 * 10⁵ = 2.96 * 10⁵ Па.
Подставим в уравнение: p₁ / T₁ = p₂ / T₂, 103 / 273 = 2.96 * 10⁵ / T₂.
Выразим T₂: T₂ = (2.96 * 10⁵ * 273) / 103, T₂ ≈ 546 К.
4. В вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью основания 0,01 м2 под поршнем массой 50 кг находится идеальный газ при температуре 47 °С. Поршень расположен на высоте 0,5 м от дна сосуда. На сколько опустится поршень, если положить на него груз массой 350 кг, а газ нагреть до 127 °С? Трение о стенки сосуда не учитывать. Атмосферное давление равно 10^5 Па.
Дано: S = 0,01 м², m₁ = 50 кг, m₂ = 350 кг, T₁ = 47 + 273 = 320 К, T₂ = 127 + 273 = 400 К, h₁ = 0,5 м, p₀ = 10⁵ Па, g = 9,8 м/с².
Шаг 1. Найдём начальное давление: p₁ = p₀ + m₁ * g / S. p₁ = 10⁵ + 50 * 9,8 / 0,01. p₁ = 10⁵ + 4,9 * 10⁴ = 1,49 * 10⁵ Па.
Шаг 2. Найдём объём газа: V₁ = S * h₁. V₁ = 0,01 * 0,5 = 0,005 м³.
Шаг 3. Найдём конечное давление: p₂ = p₀ + (m₁ + m₂) * g / S. p₂ = 10⁵ + (50 + 350) * 9,8 / 0,01. p₂ = 10⁵ + 4 * 9,8 * 10⁴ = 4,92 * 10⁵ Па.
Шаг 4. Применим закон газов: p₁ * V₁ / T₁ = p₂ * V₂ / T₂. V₂ = S * h₂, значит: h₂ = h₁ * (p₁ * T₂) / (p₂ * T₁).
h₂ = 0,5 * (1,49 * 10⁵ * 400) / (4,92 * 10⁵ * 320). h₂ = 0,5 * (5,96 * 10⁷) / (1,5744 * 10⁸). h₂ ≈ 0,5 * 0,378 ≈ 0,189 м.
Шаг 5. Опускание поршня: Δh = h₁ - h₂. Δh = 0,5 - 0,189 = 0,311 м.
Ответ: поршень опустится на 0,311 м.
5. В узкой цилиндрической трубке, запаянной с одного конца, находится воздух, отделённый от наружного пространства столбиком ртути длиной l = 15 см. Когда трубка лежит горизонтально, воздух в ней занимает объём V1 = 240 мм3, когда трубка устанавливается вертикально, открытым концом вверх, то воздух занимает объём V2 = 200 мм3. Чему равно атмосферное давление во время опыта? Ответ выразите в мм рт. ст.
Дано: l = 15 см = 150 мм, V1 = 240 мм³, V2 = 200 мм³. Ищем атмосферное давление p0 в мм рт. ст.
В горизонтальном положении давление газа равно атмосферному давлению: p1 = p0.
В вертикальном положении давление увеличивается на давление столбика ртути: p2 = p0 + 150 мм рт. ст. (давление ртути).
По уравнению состояния: p1 * V1 = p2 * V2.
Подставим данные: p0 * 240 = (p0 + 150) * 200.
Раскроем скобки: 240 * p0 = 200 * p0 + 30,000.
Приведём подобные: 240p0 - 200p0 = 30,000. 40p0 = 30,000.
Решаем: p0 = 30,000 / 40 = 750 мм рт. ст.
Ответ: атмосферное давление p0 = 750 мм рт. ст.