1. Что изучает статика?
Статика изучает условия равновесия тел, находящихся под действием сил, и методы определения этих сил. Она рассматривает тела, которые не изменяют своей формы и остаются неподвижными.
2. Какую физическую модель называют абсолютно твёрдым телом?
Абсолютно твёрдым телом называют физическую модель, в которой предполагается, что расстояние между любыми двумя точками тела остаётся постоянным, независимо от действия внешних сил.
3. Какие силы определяют движение центра масс тела (или системы тел)?
Движение центра масс тела (или системы тел) определяют внешние силы, которые действуют на это тело или систему. Эти силы суммируются в векторное уравнение для анализа движения центра масс.
4. В чём заключается: а) первое условие равновесия твёрдого тела; б) второе условие твёрдого тела?
Первое условие равновесия твёрдого тела заключается в том, что сумма всех внешних сил, действующих на тело, должна равняться нулю: ΣF = 0. Второе условие состоит в том, что сумма всех моментов сил относительно любой оси должна также быть равна нулю: ΣM = 0.
5. Почему равенство нулю суммы внешних сил, действующих на твёрдое тело, необходимо для его равновесия, но недостаточно?
Равенство нулю суммы внешних сил необходимо, чтобы тело не двигалось поступательно. Однако это условие недостаточно, так как тело всё равно может вращаться. Для полного равновесия необходимо выполнение второго условия, чтобы исключить вращательное движение.
1. Длинный стержень легче удерживать в горизонтальном положении за середину, чем за его конец. Почему?
Удерживать длинный стержень за середину легче, чем за его конец, из-за того, что момент силы (произведение силы на плечо) меньше при захвате за середину. Если держать стержень за его конец, плечо силы увеличивается, что требует большего усилия для сохранения равновесия. Таким образом, удержание за середину уменьшает моменты, возникающие при отклонении стержня от горизонтального положения, что делает его более устойчивым.
2. Почему находящийся в равновесии башенный кран (рис. 5.4) не падает в тот момент, когда он начинает поднимать груз? Ведь в момент начала подъёма возрастает сумма моментов сил, вращающих кран против часовой стрелки.
Башенный кран остаётся в равновесии при начале подъёма груза, потому что его конструкция учитывает перераспределение нагрузок. Центр масс крана с грузом остаётся внутри площади опоры, что предотвращает его опрокидывание. Кроме того, противовесы на другой стороне крана создают моменты, компенсирующие возрастание моментов от груза, поднимаемого стрелой крана. Этот баланс моментов обеспечивает устойчивость крана даже при изменении внешних условий нагрузки.
1. Однородная балка массой 15 кг лежит на платформе так, что её конец свешивается на 1/3 длины l. Какую минимальную силу нужно приложить к этому концу, чтобы противоположный конец балки начал подниматься (рис. 5.6)?
Для решения задачи о минимальной силе, которую нужно приложить к свисающему концу балки, чтобы противоположный конец поднялся, нужно рассчитать моменты сил.
Балка массой 15 кг и длиной l. Центр масс балки находится на расстоянии l/2 от её основания.
Момент силы тяжести относительно точки опоры будет равен:
M_т = масса * g * (l/2).
Момент силы тяжести = 15 * 9.8 * (l/2) = 15 * 9.8 * l / 2.
Сила, которую нужно приложить, будет создавать момент относительно той же точки опоры. Момент силы будет равен:
M_сила = F * (l/3).
Для того чтобы поднять противоположный конец балки, моменты сил должны быть равны:
M_сила = M_т.
Тогда F * (l/3) = 15 * 9.8 * l / 2.
Убираем l, так как оно есть в обоих выражениях:
F * (1/3) = 15 * 9.8 / 2.
Теперь находим F:
F = (15 * 9.8) / 2 * 3 = 15 * 9.8 * 3 / 2 = 73.5 Н.
Таким образом, минимальная сила, которую нужно приложить к свисающему концу балки, составляет 73.5 Н.
2. Тело массой 10 кг подвешено на двух невесомых нерастяжимых нитях, как показано на рисунке 5.7. Определите силы натяжения нитей. если угол а =30°.
По горизонтали: -T1 + T2 * cos(a) = 0 T2 * cos(a) = T1 cos(30°) = √3 / 2, значит: T1 = T2 * √3 / 2
По вертикали: T2 * sin(a) - mg = 0 T2 * sin(a) = mg sin(30°) = 0.5, значит: T2 = mg / 0.5 = 10 * 10 / 0.5 = 200 Н
Найдем T1: T1 = T2 * √3 / 2 = 200 * √3 / 2 = 100 * √3 ≈ 173 Н
Ответ: T2 = 200 Н, T1 ≈ 173 Н.
3. Однородный шар радиусом 15 см и массой 5 кг висит, как показано на рисунке 5.8. Расстояние от точки крепления нити к стене до точки касания шара со стеной равно 30 см. Определите силу Т натяжения нити и силу N реакции стены.
Вес шара: P = m * g = 5 * 9.8 = 49 Н.
Нить и стена образуют прямоугольный треугольник. Длина нити (гипотенуза): L = √((2R)^2 + R^2) = √(30^2 + 15^2) = √(900 + 225) = √1125 ≈ 33.54 см.
Угол между нитью и стеной: tan(θ) = R / (2R) = 15 / 30 = 0.5, θ ≈ arctan(0.5) ≈ 26.57°.
Сила натяжения нити T: T = P / cos(θ) = 49 / cos(26.57°) ≈ 49 / 0.894 ≈ 54.8 Н.
Сила реакции стены N: N = T * sin(θ) ≈ 54.8 * sin(26.57°) ≈ 54.8 * 0.447 ≈ 24.5 Н.
Ответ: T ≈ 54.8 Н, N ≈ 24.5 Н.
4. К гладкой вертикальной стене привязана нить длиной 6 см. К нити подвешен шар массой 0,5 кг и радиусом 5 см. Найдите силу давления шара на стену.
Силы, действующие на шар: На шар действуют три силы:
Сила тяжести (mg), направленная вниз. Сила натяжения нити (T), направленная по направлению нити. Сила давления (N), которую оказывает стена на шар. Эта сила направлена горизонтально, в сторону стены. Проекция на горизонтальную ось (X): Запишем второй закон Ньютона для проекции на горизонтальную ось:
N - T * sin(α) = 0 Отсюда: N = T * sin(α)
Где α — угол наклона нити к вертикали.
Проекция на вертикальную ось (Y): Запишем второй закон Ньютона для вертикальной оси:
T * cos(α) - mg = 0 Отсюда: T = mg / cos(α)
Где:
m = 0,5 кг (масса шара) g = 10 Н/кг (ускорение свободного падения) Нахождение угла α: Сначала нужно найти угол α. Это можно сделать, используя геометрическое соотношение. В большом треугольнике, образованном нитью и радиусом шара:
Гипотенуза = длина нити + радиус шара = 6 см + 5 см = 11 см. Противолежащий катет = радиус шара = 5 см. Таким образом, sin(α) = 5 / 11 ≈ 0,4545.
Теперь, используя теорему Пифагора, находим cos(α): cos(α) = √(1 - sin²(α)) = √(1 - (5/11)²) ≈ 0,89.
Нахождение силы натяжения (T): Теперь, зная cos(α), можно вычислить силу натяжения: T = mg / cos(α) = (0,5 * 10) / 0,89 ≈ 5,6 Н.
Нахождение силы давления (N): Теперь, подставив найденное значение T в выражение для N, получаем: N = (5/11) * 5,6 ≈ 2,5 Н.
5. Лестница опирается на гладкую вертикальную стенку, образуя с ней угол 30°. Нижний конец лестницы находится на шероховатом полу. При каком коэффициенте трения между лестницей и полом человек, взбирающийся вверх но лестнице, сможет достичь её вершины? Масса человека в 3 раза больше массы лестницы.
Дано:
Угол между лестницей и стеной: α = 30°. Масса человека m2 = 3m1, где m1 — масса лестницы. Требуется найти коэффициент трения μ. Уравнение моментов относительно верхнего конца лестницы: m1 * g * l / 2 * sin(α) + Fтр * l * cos(α) - N1 * l * sin(α) = 0.
Сумма сил по вертикали: N1 - m1 * g - m2 * g = 0.
Сила трения: Fтр ≤ μ * N1.
Подставим m2 = 3m1: N1 = m1 * g + 3m1 * g = 4m1 * g.
Подставим в уравнение моментов: m1 * g * l / 2 * sin(α) + μ * 4m1 * g * l * cos(α) - 4m1 * g * l * sin(α) = 0.
Сократим на m1 * g * l: sin(α) / 2 + 4μ * cos(α) - 4 * sin(α) = 0.
Решим для μ: 4μ * cos(α) = 4 * sin(α) - sin(α) / 2.
4μ * cos(α) = (8 * sin(α) - sin(α)) / 2.
4μ * cos(α) = 7 * sin(α) / 2.
μ = (7 * sin(α)) / (8 * cos(α)).
Подставим значения: sin(30°) = 0.5, cos(30°) = √3 / 2.
μ = (7 * 0.5) / (8 * √3 / 2). μ = 3.5 / (4 * √3). μ = (3.5 * √3) / 12.
μ ≈ 0.5.
Ответ: коэффициент трения μ = 0.5.