1. В цилиндрический сосуд налиты ртуть и вода, причем их массы одинаковы. Общая высота столба жидкости 1 м. Определите давление на дно сосуда. Плотность ртути 13,6*10^3 кг/м3.
Массы ртути и воды равны. Пусть плотность ртути равна 13.6 * 10^3 кг/м³, а плотность воды — 1000 кг/м³. Обозначим высоту столба ртути как h_рт, а высоту столба воды как h_в.
Так как массы жидкостей одинаковы, имеем:
ρ_рт * h_рт = ρ_в * h_в.
Также известно, что h_рт + h_в = 1 м.
Подставим выражение для h_в: h_в = 13.6 * h_рт.
Тогда, h_рт + 13.6 * h_рт = 1.
Решая, находим h_рт ≈ 0.0685 м. Тогда h_в ≈ 1 - 0.0685 = 0.9315 м.
Теперь давление на дно сосуда равно сумме давлений столбов ртути и воды:
P = ρ_рт * g * h_рт + ρ_в * g * h_в.
Подставляем значения: P ≈ 13.6 * 10^3 * 9.8 * 0.0685 + 1000 * 9.8 * 0.9315.
Вычисляем: P ≈ 9104.72 + 9137.7 = 18242.42 Па.
Ответ: давление на дно сосуда составляет примерно 18242 Па.
2. Определите плотность однородного тела, вес которого в воздухе 10 Н, а в воде 6 Н.
Чтобы определить плотность однородного тела, сначала найдем его объем. Для этого используем силу Архимеда, которая равна разности веса тела в воздухе и в воде:
Сила Архимеда = 10 Н - 6 Н = 4 Н.
Сила Архимеда также равна произведению плотности воды, ускорения свободного падения и объема тела: 4 Н = ρ_воды * g * V.
Подставляя плотность воды (ρ_воды = 1000 кг/м³) и ускорение свободного падения (g = 9.8 м/с²): 4 = 1000 * 9.8 * V, V = 4 / (1000 * 9.8) ≈ 0.000408 м³.
Теперь найдем массу тела, разделив вес тела в воздухе на ускорение свободного падения: m = 10 / 9.8 ≈ 1.02 кг.
Теперь определим плотность тела, используя его массу и объем: ρ = m / V = 1.02 / 0.000408 ≈ 2500 кг/м³.
Ответ: плотность тела приблизительно равна 2500 кг/м³.
3. Шарик, подвешенный на пружине, опускают в воду. Растяжение пружины уменьшается при этом в 1,5 раза. Вычислите плотность материала шарика.
Пусть сила упругости пружины в воздухе равна F_воздух, а в воде она становится равной F_вода. Сила упругости уменьшается в 1,5 раза, значит, F_вода = F_воздух / 1.5.
Сила Архимеда, действующая на шарик в воде, равна разности силы упругости в воздухе и в воде:
F_арх = F_воздух - F_вода.
Так как F_вода = F_воздух / 1.5, то:
F_арх = F_воздух - (F_воздух / 1.5) = (1 - 1/1.5) * F_воздух.
Преобразуем это выражение, чтобы упростить расчет:
F_арх = (1.5 - 1) / 1.5 * F_воздух = 0.5 / 1.5 * F_воздух = F_воздух / 3.
Сила Архимеда также равна произведению плотности воды (ρ_воды), ускорения свободного падения (g) и объема шарика (V):
F_арх = ρ_воды * g * V.
Теперь выразим объем V через массу шарика (m) и его плотность (ρ_шарика):
V = m / ρ_шарика.
Подставим это в выражение для F_арх:
F_воздух / 3 = ρ_воды * g * (m / ρ_шарика).
Так как F_воздух = m * g, то:
(m * g) / 3 = ρ_воды * g * (m / ρ_шарика).
Сокращаем на m и g:
1 / 3 = ρ_воды / ρ_шарика.
Отсюда:
ρ_шарика = 3 * ρ_воды.
Подставляя значение плотности воды (1000 кг/м³), находим:
ρ_шарика = 3 * 1000 = 3000 кг/м³.
Ответ: плотность материала шарика составляет 3000 кг/м³.
4. Деревянный кубик, ребро которого 9 см, плавает в воде и на 2/3 своего объёма погружен в воду. Какой массы груз надо положить на кубик, чтобы он полностью погрузился в воду?
Для решения задачи сначала найдем объем и массу деревянного кубика.
Объем кубика, ребро которого 9 см, равен V_кубика = 9^3 = 729 см³ (или 0.000729 м³, если переводить в кубические метры).
Так как кубик плавает в воде и погружен на 2/3 своего объема, сила Архимеда, действующая на кубик, равна весу вытесненной воды. Тогда вес вытесненной воды можно найти как произведение плотности воды, ускорения свободного падения и объема погруженной части кубика:
F_арх = ρ_воды * g * (V_кубика * 2/3).
Плотность воды ρ_воды = 1000 кг/м³, и ускорение свободного падения g = 9.8 м/с². Подставим значения:
F_арх = 1000 * 9.8 * (0.000729 * 2/3) = 1000 * 9.8 * 0.000486 ≈ 4.76 Н.
Так как этот вес вытесненной воды равен весу кубика, масса кубика m_кубика = F_арх / g ≈ 4.76 / 9.8 ≈ 0.486 кг.
Теперь определим, какой массы груз нужно добавить, чтобы кубик полностью погрузился в воду:
Когда кубик полностью погрузится, объем вытесненной воды будет равен полному объему кубика, и сила Архимеда составит:
F_арх_полная = ρ_воды * g * V_кубика = 1000 * 9.8 * 0.000729 ≈ 7.14 Н.
Для того чтобы кубик полностью погрузился, его вес вместе с грузом должен быть равен этой силе Архимеда:
m_кубика * g + m_груза * g = F_арх_полная.
Подставляем значения: 0.486 * 9.8 + m_груза * 9.8 = 7.14.
Решаем это уравнение для массы груза m_груза:
m_груза = (7.14 - 0.486 * 9.8) / 9.8 ≈ 0.24 кг.
Ответ: чтобы кубик полностью погрузился в воду, на него нужно положить груз массой примерно 0.24 кг.
5. Брусок сделан из сплава железа и никеля. Определите процентное содержание сплава, если известно, что брусок весит в воздухе 33,52 Н, а воде 29,6 Н. Плотность железа 7,8*10^3 кг/м3, а никеля 8,8*10^3 кг/м3.
Для определения процентного содержания сплава, воспользуемся тем, что брусок весит 33,52 Н в воздухе и 29,6 Н в воде. Разность этих весов дает силу Архимеда, действующую на брусок в воде:
Сила Архимеда = 33,52 Н - 29,6 Н = 3,92 Н.
Сила Архимеда также равна произведению плотности воды (1000 кг/м³), ускорения свободного падения (9,8 м/с²) и объема бруска (V):
3,92 Н = 1000 * 9,8 * V.
Найдем объем бруска:
V = 3,92 / (1000 * 9,8) ≈ 0,0004 м³.
Теперь определим массу бруска. Поскольку вес бруска в воздухе равен 33,52 Н, его масса m = 33,52 / 9,8 ≈ 3,42 кг.
Теперь, зная массу и объем бруска, можно определить его среднюю плотность:
Плотность бруска = масса / объем = 3,42 / 0,0004 ≈ 8550 кг/м³.
Пусть x — доля железа в сплаве, тогда доля никеля будет (1 - x). Средняя плотность бруска выражается как:
8550 = x * 7800 + (1 - x) * 8800.
Раскроем скобки и решим это уравнение для x:
8550 = 7800x + 8800 - 8800x, 8550 - 8800 = -1000x, -250 = -1000x, x = 0,25.
Следовательно, железо составляет 25% сплава, а никель — 75%.
Ответ: сплав содержит 25% железа и 75% никеля.
6. Плотность жидкости, перекачиваемой насосом, увеличили на 20%. На сколько процентов изменилась скорость жидкости в насосе, если мощность насоса осталась без изменения?
Мощность насоса выражается как произведение давления, объема перекачиваемой жидкости в секунду и скорости потока. Поскольку мощность насоса не изменилась, произведение плотности жидкости и квадрата скорости должно оставаться постоянным. Запишем это условие.
Пусть начальная плотность жидкости — ρ, а начальная скорость жидкости — v. После увеличения плотности на 20%, новая плотность жидкости станет 1.2ρ.
Мощность насоса пропорциональна произведению плотности жидкости и квадрата скорости, то есть:
ρ * v² = 1.2ρ * v_новое².
Сокращая на ρ, получаем:
v² = 1.2 * v_новое².
Разделим обе стороны на 1.2:
v_новое² = v² / 1.2.
Извлекая корень, получаем:
v_новое = v / √1.2 ≈ v / 1.095.
Значит, скорость жидкости уменьшилась. Чтобы найти процентное изменение скорости, вычислим:
Δv% = (1 - 1 / 1.095) * 100% ≈ -9.1%.
Ответ: скорость жидкости уменьшилась примерно на 9.1%.
7. В сосуд с водой опущена открытая трубка с площадью сечения S = 2 см2. В трубку налили 72 г масла (ρм = 900 кг/м3). Определите разность уровней масла и воды.
Для определения разности уровней масла и воды в трубке начнем с нахождения высоты столба масла, который создает давление, равное давлению столба воды на уровне их соприкосновения.
Масса масла в трубке составляет 72 г, что равно 0.072 кг. Плотность масла (ρ_м) равна 900 кг/м³. Площадь сечения трубки S = 2 см² = 0.0002 м². Используем формулу для объема масла: V_м = масса / плотность = 0.072 / 900 ≈ 0.00008 м³.
Теперь, зная объем масла и площадь сечения, можем найти высоту столба масла h_м:
h_м = V_м / S = 0.00008 / 0.0002 = 0.4 м.
Это высота столба масла. Поскольку плотность воды больше, чем плотность масла, вода не будет подниматься в трубке так же высоко. Чтобы найти разность уровней масла и воды, нужно учесть соотношение плотностей.
Разность уровней (Δh) рассчитывается как: Δh = h_м * (ρ_в / ρ_м - 1),
где ρ_в = 1000 кг/м³ — плотность воды.
Подставляем значения:
Δh = 0.4 * (1000 / 900 - 1) ≈ 0.4 * (1.111 - 1) = 0.4 * 0.111 ≈ 0.0444 м.
Ответ: разность уровней масла и воды составляет примерно 4.44 см.
8. При подъёме груза массой m = 2000 кг с помощью гидравлического пресса затрачена работа A = 40 Дж. При этом малый поршень сделал n = 10 ходов, перемещаясь за один ход на h = 10 см. Во сколько раз площадь большого поршня больше площади малого?
Дано:
масса груза m = 2000 кг, работа A = 40 Дж, количество ходов малого поршня n = 10, перемещение малого поршня за один ход h = 10 см = 0.1 м. Рассчитаем силу, действующую на малый поршень. Сила, необходимая для подъема груза, равна его весу: F_груз = m * g = 2000 * 9.8 = 19600 Н.
Рассчитаем объем, перемещаемый малым поршнем за один ход: V_мал = S_мал * h,
где S_мал — площадь малого поршня, h — перемещение малого поршня. Так как малый поршень делает n = 10 ходов, общий объем, перемещаемый малым поршнем, равен:
V_общ = n * S_мал * h = 10 * S_мал * 0.1 = S_мал.
Работа, затраченная на подъем груза, равна произведению силы на перемещаемый объем: A = F_груз * V_общ.
40 = 19600 * S_мал.
Отсюда находим площадь малого поршня:
S_мал = 40 / 19600 ≈ 0.00204 м².
Так как работа при подъеме груза пропорциональна площади поршня, а работа на малом поршне передается через гидравлическую систему на большой поршень, площадь большого поршня будет пропорциональна разнице давления: S_больш = (F_груз * S_мал) / A.
Ответ: Площадь большого поршня в 490 раз больше площади малого.
9. Скорость ветра над крышей дома равна 25 м/с. Какая дополнительная сила действует на крышу площадью 250 м2? Плотность воздуха равна1,16 кг/м3.
Чтобы найти дополнительную силу, действующую на крышу, используем принцип Бернулли, который объясняет, что при движении воздуха его давление уменьшается. Это создает разницу давлений и вызывает подъемную силу, направленную снизу вверх.
Формула для дополнительного давления, вызванного движением воздуха:
давление = 1/2 * плотность * скорость в квадрате
где плотность воздуха равна 1.16 кг/м^3, а скорость ветра над крышей — 25 м/с. Подставляя значения, получаем:
давление = 0.5 * 1.16 * (25)^2 = 0.5 * 1.16 * 625 = 362.5 Па
Чтобы найти силу, умножаем это давление на площадь крыши:
сила = давление * площадь = 362.5 * 250 = 90625 Н
Итак, дополнительная сила, действующая на крышу, составляет 90625 Н.
10. Рассчитайте, чему будет равна высота столбика жидкости в трубке Торричелли, если ртуть заменить спиртом
Чтобы рассчитать высоту столбика жидкости в трубке Торричелли, если ртуть заменить спиртом, нужно учитывать, что высота столбика жидкости зависит от плотности этой жидкости и атмосферного давления. При нормальном атмосферном давлении столб ртути имеет высоту около 760 мм, но для спирта, который менее плотный, высота столба будет значительно больше, так как более лёгкая жидкость создаёт меньшее давление на единицу высоты.
Используем формулу давления в жидкости, где давление на дне столба жидкости будет одинаковым для ртути и спирта:
P = плотность * g * h
где
P – атмосферное давление, около 101325 Па при нормальном атмосферном давлении, плотность – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, примерно 9.8 м/с², h – высота столба жидкости. Приравниваем давления для ртути и спирта и упрощаем:
плотность ртути * g * высота ртути = плотность спирта * g * высота спирта
Из этого выражаем высоту столба спирта:
высота спирта = (плотность ртути / плотность спирта) * высота ртути
Подставим известные значения: плотность ртути 13600 кг/м³, плотность спирта 800 кг/м³, высота столба ртути 0.76 м. Получается:
высота спирта = (13600 / 800) * 0.76 ≈ 12.92 м
Таким образом, высота столбика спирта в трубке Торричелли будет около 12.92 метров.