1. Определите суммарную работу сил, которая будет совершена, если сила, равная 3 Н, поднимет груз массой 100 г на высоту 5 м.
Масса m = 0,1 кг, сила подъёма F = 3 Н, высота h = 5 м, ускорение свободного падения g = 9,81 м/с². Работа силы тяжести Aг = −m g h = −0,1·9,81·5 = −4,905 Дж. Работа приложенной силы Aпр = F·h = 3·5 = 15 Дж. Суммарная работа всех сил AΣ = Aпр + Aг = 15 − 4,905 = 10,095 Дж. Эта величина равна изменению кинетической энергии груза ΔK. Ответ AΣ = 10,095 Дж (округлённо 10,10 Дж).
2. Груз массой 97 кг перемещают с помощью верёвки с постоянной скоростью по горизонтальной поверхности. Угол между верёвкой и этой поверхностью равен 30. Коэффициент трения равен 0,2. Определите работу силы натяжения верёвки на пути 100 м.
При равномерном движении сумма проекций сил на направление движения равна нулю, то есть горизонтальная проекция силы натяжения T cos30° уравновешивает силу трения f. Нормальная реакция N уменьшена вертикальной составляющей верёвки T sin30°, поэтому N = m g − T sin30°. Сила трения f = μ N = μ(m g − T sin30°). Уравнение равновесия по горизонтали T cos30° = μ(m g − T sin30°). Отсюда T( cos30° + μ sin30° ) = μ m g, значит T = μ m g / ( cos30° + μ sin30° ). Подставляем числа cos30° = 0,8660254, sin30° = 0,5, m = 97 кг, g = 9,81 м/с², μ = 0,2. Вычислим числительно: μ m g = 0,2·97·9,81 = 190,314 Н. Знаменатель cos30° + μ sin30° = 0,8660254 + 0,1 = 0,9660254. Тогда T ≈ 190,314 / 0,9660254 ≈ 197,08 Н. Горизонтальная составляющая T cos30° ≈ 197,08·0,8660254 ≈ 170,68 Н. Работа силы натяжения на пути s = 100 м равна W = T cos30° · s ≈ 170,68·100 = 17068 Н·м, то есть W ≈ 1,7068·10^4 Дж. Ответ примерно 1,71·10^4 Дж.
3. С какой скоростью двигался вагон массой 20 000 кг по горизонтальному пути, если при ударе о преграду каждая пружина буфера сжалась на 10 см? Известно, что для сжатия пружины буфера на 1 см требуется сила 10 000 Н. Вагон имеет два буфера.
Для линейной пружины постоянная k равна F/x. Если 1 см (0,01 м) требует 10 000 Н, то k = 10 000 / 0,01 = 1·10^6 Н/м. При сжатии x = 0,1 м энергия, запасённая одной пружиной, E1 = ½ k x^2 = 0,5·10^6·(0,1)^2 = 0,5·10^6·0,01 = 5·10^3 Дж. Две пружины дают суммарно E = 2·E1 = 10 000 Дж. Эта энергия равна кинетической энергии вагона до удара ½ M v^2, где M = 20 000 кг. Значит ½·20 000·v^2 = 10 000, отсюда 10 000·v^2 = 10 000, v^2 = 1, v = 1 м/с. Ответ v = 1 м/с.
4. Автомобиль, имеющий массу 1 т, трогается с места и, двигаясь равноускоренно, проходит путь 20 м за время 2 с. Какую мощность при этом развивает двигатель автомобиля?
Масса m = 1000 кг, путь s = 20 м, время t = 2 с, начальная скорость 0. При равноускоренном движении s = ½ a t^2, значит a = 2 s / t^2 = 2·20 / 4 = 10 м/с². Конечная скорость v = a t = 10·2 = 20 м/с. Кинетическая энергия в конце K = ½ m v^2 = 0,5·1000·(20)^2 = 0,5·1000·400 = 200 000 Дж. Мощность среднего значения за время t равна P = ΔK / t = 200 000 / 2 = 100 000 Вт = 100 кВт. Ответ P = 100 кВт.
1. Груз массой 100 г привязан к нити длиной 1 м. Нить с грузом отвели от вертикали на угол 90 и отпустили. Чему равно центростремительное ускорение груза в момент, когда нить образует с вертикалью угол 60?
Потеря потенциальной энергии между положениями θ0 = 90° и θ = 60° равна m g Δh, где Δh = l( cosθ − cosθ0 ) = l(0,5 − 0) = 0,5 l = 0,5·1 = 0,5 м. Следовательно скорость в этой точке v определяется из ½ m v^2 = m g Δh, откуда v^2 = 2 g Δh = 2·9,81·0.5 = 9,81 м²/с², v = √9,81 ≈ 3,132 м/с. Центростремительное ускорение aц = v^2 / l = 9,81 / 1 = 9,81 м/с². Ответ aц = 9,81 м/с².
2. Брусок массой m1 = 600 г, движущийся со скоростью 2 м/с, сталкивается с неподвижным бруском массой m2 = 200 г. Какой будет скорость первого бруска после столкновения? Удар считайте центральным и абсолютно упругим.
Для абсолютно упругого центрального удара в одну меру формула для скорости первого тела после удара v1' равна (m1 − m2)/(m1 + m2)·v1. Подставляем m1 = 0,6 кг, m2 = 0,2 кг, v1 = 2 м/с. Тогда v1' = (0,6 − 0,2)/(0,6 + 0,2) · 2 = 0,4/0,8 · 2 = 0,5 · 2 = 1 м/с. Ответ v1' = 1 м/с.