1. Мяч массой 1 кг падает с высоты 2 м. Определите изменение кинетической энергии мяча на первой и второй половинах пути.
Начальная потенциальная энергия (на высоте 2 м): Eп = m * g * h, где m = 1 кг, g = 10 м/с² (ускорение свободного падения), h = 2 м.
Подставляем значения: Eп = 1 * 10 * 2 = 20 Дж.
Когда мяч падает, его потенциальная энергия превращается в кинетическую.
На высоте 1 м:
Потенциальная энергия: Eп1 = m * g * h1, где h1 = 1 м: Eп1 = 1 * 10 * 1 = 10 Дж.
Кинетическая энергия на высоте 1 м равна разнице между начальной потенциальной энергией и потенциальной энергией на высоте 1 м: Eк1 = Eп - Eп1 = 20 - 10 = 10 Дж.
На высоте 0 м:
Потенциальная энергия: Eп2 = 0 Дж (мяч достиг земли).
Кинетическая энергия на высоте 0 м равна начальной потенциальной энергии: Eк2 = Eп = 20 Дж.
Изменение кинетической энергии: На первой половине пути (от 2 м до 1 м): изменение = Eк1 - Eк0 = 10 Дж - 0 Дж = 10 Дж. На второй половине пути (от 1 м до 0 м): изменение = Eк2 - Eк1 = 20 Дж - 10 Дж = 10 Дж. Итак, изменение кинетической энергии на каждой половине пути составляет 10 Дж.
2. Человек сначала несёт груз массой 4 кг до шкафа, а затем ставит его на шкаф, подняв груз на высоту 1 м. Определите работу силы тяжести, действующей на груз при его перемещении.
Работа силы тяжести вычисляется как: A = - m * g * h, где m = 4 кг, g = 10 м/с², h = 1 м. Подставим значения: A = - 4 * 10 * 1 = -40 Дж.
Здесь знак минус указывает, что работа силы тяжести противодействует подъему груза.
3. Скорость тела массой 2 кг изменяется согласно уравнению vx= 5 + 4t + 2t^2. Определите работу сил, действующих на тело в течение первых четырёх секунд.
Скорость тела определяется уравнением: v = 5 + 4t + 2t².
Найдем скорость в начальный момент времени (t = 0): v(0) = 5 + 4 * 0 + 2 * 0² = 5 м/с.
Найдем скорость в момент времени t = 4 секунды: v(4) = 5 + 4 * 4 + 2 * 4² = 5 + 16 + 32 = 53 м/с.
Теперь найдем изменение кинетической энергии: Кинетическая энергия в начале (t = 0): Eк1 = 0.5 * m * v(0)² = 0.5 * 2 * 5² = 0.5 * 2 * 25 = 25 Дж.
Кинетическая энергия в конце (t = 4): Eк2 = 0.5 * m * v(4)² = 0.5 * 2 * 53² = 0.5 * 2 * 2809 = 2809 Дж.
Работа сил: A = Eк2 - Eк1 = 2809 - 25 = 2784 Дж.
1. Чему равен тормозной путь автомобиля массой 1000 кг, движущегося со скоростью 30 м/с по горизонтальной дороге? Коэффициент трения скольжения между дорогой и шинами автомобиля равен 0,3.
Для решения задачи воспользуемся формулой для тормозного пути S:
S = v^2 / (2 * μ * g)
где:
v — начальная скорость автомобиля (30 м/с), μ — коэффициент трения (0,3), g — ускорение свободного падения (примем g = 10 м/с²). Подставим значения в формулу:
S = 30^2 / (2 * 0,3 * 10) = 900 / 6 = 150 м
Ответ: тормозной путь автомобиля равен 150 м.
2. На столе закреплена доска длиной l = 0,9 м. На доске у её левого торца лежит небольшой брусок. Коэффициент трения скольжения бруска о доску m = 0,5. Какую минимальную скорость v0 нужно сообщить бруску, чтобы он соскользнул с правого торца доски?
Чтобы брусок соскользнул с правого торца доски, его начальная кинетическая энергия должна быть достаточной для преодоления силы трения на всём пути.
Запишем закон сохранения энергии, где начальная кинетическая энергия бруска полностью расходуется на работу против силы трения:
m * v0^2 / 2 = Fтр * l
v0 — начальная скорость бруска, которую нужно найти, Fтр = μ * m * g — сила трения, где μ — коэффициент трения (0,5) и g — ускорение свободного падения (10 м/с^2), l = 0.9 м — длина доски. Подставим Fтр в уравнение:
m * v0^2 / 2 = μ * m * g * l
Сократим массу m и выразим v0:
v0^2 = 2 * μ * g * l
Подставим численные значения:
v0^2 = 2 * 0.5 * 10 * 0.9
v0^2 = 9
v0 = 3 м/с
Ответ: начальная скорость v0, чтобы брусок соскользнул с доски, должна быть равна 3 м/с.
3. Пуля летит горизонтально со скоростью v0 = 150 м/с, пробивает стоящий на горизонтальной поверхности льда брусок и движется в прежнем направлении со скоростью 1/3 v0. Масса бруска в 10 раз больше массы пули. Коэффициент трения скольжения между бруском и льдом m = 0,1. На какое расстояние s переместится брусок к моменту, когда его скорость уменьшится на 10 %?
Для решения задачи используем закон сохранения импульса и второй закон Ньютона.
Определим скорость бруска после удара. Пусть масса пули — m, а масса бруска — M = 10m. По закону сохранения импульса:
m * v0 = m * (v0 / 3) + M * V
где V — скорость бруска после удара.
Подставим значения и упростим уравнение:
m * v0 = m * (v0 / 3) + 10m * V
Разделим обе части на m:
v0 = (v0 / 3) + 10V
Выразим V:
V = (v0 - (v0 / 3)) / 10 = (2v0 / 3) / 10 = v0 / 15
Подставим v0 = 150 м/с:
V = 150 / 15 = 10 м/с
Теперь найдём расстояние s, которое пройдёт брусок, пока его скорость не уменьшится на 10 %. Начальная скорость бруска V = 10 м/с, а его конечная скорость будет V' = 0.9V = 0.9 * 10 = 9 м/с. Используем формулу, связывающую расстояние, начальную и конечную скорости при наличии постоянного ускорения (здесь — замедления из-за силы трения):
V'^2 = V^2 - 2 * a * s
где a — ускорение, вызванное силой трения. Ускорение a можно найти как:
a = μ * g
Подставим μ = 0.1 и g = 10:
a = 0.1 * 10 = 1 м/с^2
Подставим значения в формулу:
9^2 = 10^2 - 2 * 1 * s
81 = 100 - 2s
2s = 19
s = 19 / 2 = 9.5 м
Ответ: брусок переместится на 9.5 м, когда его скорость уменьшится на 10 %.
4. Бруски с массами m и 3m скользят по горизонтальной поверхности доски навстречу друг другу. Скорость каждого бруска перед абсолютно неупругим ударом равна по модулю v = 3 м/с. Коэффициент трения скольжения между брусками и доской m = 0,2. На какое расстояние переместятся слипшиеся бруски к моменту, когда их общая скорость уменьшится на 40 %?
Определим начальную скорость слипшихся брусков сразу после удара, используя закон сохранения импульса. До удара один брусок с массой m движется со скоростью v = 3 м/с в одну сторону, а другой брусок с массой 3m движется со скоростью v = 3 м/с в противоположную сторону.
Закон сохранения импульса до и после удара:
m * v - 3m * v = (m + 3m) * V
3m - 9m = 4m * V
-6m = 4m * V
V = -6 / 4 = -1.5 м/с
Начальная скорость слипшихся брусков после удара составляет V = 1.5 м/с по направлению более массивного бруска.
Теперь найдём расстояние s, которое пройдут слипшиеся бруски, пока их скорость уменьшится на 40 процентов. Изначальная скорость V = 1.5 м/с, а конечная скорость будет V' = 0.6 * V = 0.6 * 1.5 = 0.9 м/с.
Используем формулу для расстояния при замедлении из-за силы трения:
где a — ускорение, вызванное силой трения. Ускорение a можно найти как
Подставим μ = 0.2 и g = 10:
a = 0.2 * 10 = 2 м/с^2
0.9^2 = 1.5^2 - 2 * 2 * s
0.81 = 2.25 - 4s
4s = 2.25 - 0.81
4s = 1.44
s = 1.44 / 4 = 0.36 м
Ответ: слипшиеся бруски переместятся на 0.36 м, когда их скорость уменьшится на 40 процентов.
5. В тело массой 4,8 кг, лежащее на гладком участке горизонтальной поверхности, попадает снаряд массой 0,2 кг, летящий под углом 60 к горизонту со скоростью 40 м/с, и застревает в нём. Попав на шероховатую часть поверхности, тело проходит до остановки путь, равный 12 см. Определите коэффициент трения скольжения между телом и поверхностью.
Шаг 1: Определение начальной скорости системы
Когда снаряд массой 0,2 кг попадает в тело массой 4,8 кг и застревает в нем, происходит неупругое столкновение. Мы можем использовать закон сохранения импульса для нахождения скорости системы сразу после столкновения.
Рассчитаем горизонтальную и вертикальную компоненты скорости снаряда. Скорость снаряда равна 40 м/с, угол 60 градусов. Горизонтальная компонента скорости равна 20 м/с. Вертикальная компонента скорости примерно 34,64 м/с.
Определим начальный импульс системы. Импульс снаряда до столкновения равен 4 кг·м/с. Импульс тела до столкновения равен 0, так как оно покоится. Полный импульс до столкновения равен 4 кг·м/с.
Общая масса системы после столкновения равна 5,0 кг (4,8 кг + 0,2 кг).
Используем закон сохранения импульса для определения скорости системы после столкновения. Полный импульс равен 4 кг·м/с. Скорость системы после столкновения равна 0,8 м/с (4 / 5).
Шаг 2: Определение работы сил трения
Тело проходит путь 12 см (0,12 м) до остановки. Используем уравнение работы и силы трения.
Сила трения определяется по формуле Fтр = μ * N, где μ - коэффициент трения, N - нормальная сила. Нормальная сила равна весу тела и составляет 50 Н (5,0 кг * 10 м/с²). Таким образом, сила трения равна μ * 50.
Работа сил трения равна изменению кинетической энергии системы. Кинетическая энергия системы до остановки равна 1,6 Дж (0,5 * 5 * (0,8)²). Работа сил трения будет равна - Fтр * S = -Eк. Подставляем значения: - μ * 50 * 0,12 = -1,6.
Убираем знак минус и решаем уравнение: μ * 50 * 0,12 = 1,6. Получаем μ * 6 = 1,6.
Коэффициент трения равен 1,6 / 6, что примерно равно 0,267.
Коэффициент трения скольжения между телом и поверхностью составляет примерно 0,267