1. К динамометру привязан груз массой 2 кг. Динамометр с грузом опускают с ускорением 3 м/с2. Жёсткость пружины 10^3 Н/м. Определите модуль растяжения пружины динамометра.
Примем g = 10 м/с².
Рассчитаем силу, действующую на пружину: F = m * (g - a), где m = 2 кг, g = 10 м/с², a = 3 м/с². Подставим значения: F = 2 * (10 - 3) = 2 * 7 = 14 Н.
Найдём растяжение пружины x из формулы F = k * x, где F = 14 Н, k = 1000 Н/м. Вычислим x: x = F / k = 14 / 1000 = 0.014 м = 14 мм.
Ответ: растяжение пружины составляет 14 мм.
2. К бруску массой 1 кг, находящемуся на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплены две пружины (рис. 3.20). Жёсткость правой пружины 2 · 10^3 Н/м, левой — в 2 раза меньше. Чему равно отношение удлинений пружин в случае, когда брусок неподвижен?
Так как брусок неподвижен, силы упругости обеих пружин равны по модулю и уравновешивают друг друга.
Для каждой пружины сила упругости F выражается как F = k * x, где k — жёсткость пружины, x — удлинение пружины.
Жёсткость правой пружины k1 = 2 * 10^3 Н/м, жёсткость левой пружины в 2 раза меньше, то есть k2 = 10^3 Н/м. Удлинения правой и левой пружин обозначим как x1 и x2.
Поскольку силы равны, получаем: k1 * x1 = k2 * x2.
Найдём отношение удлинений: x1 / x2 = k2 / k1 = (10^3) / (2 * 10^3) = 1 / 2.
Значит, отношение удлинений правой и левой пружин равно 1:2.
3. Ящик массой 100 кг удерживается на наклонной плоскости на высоте 0,5 м закреплённой у основания пружиной, жёсткость которой равна 10^4 Н/м (рис. 3.21). Определите длину пружины в недеформированном состоянии. Угол у основания наклонной плоскости равен 30. Трением можно пренебречь.
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси:
По оси Х: сила упругости пружины уравновешивает проекцию силы тяжести на плоскость, то есть k * dx = m * g * sin 30, где dx — величина сжатия пружины. Выразим dx: dx = (m * g * sin 30) / k. Подставим значения: m = 100 кг, g = 10 м/с², sin 30 = 0.5, k = 10^4 Н/м.
dx = (100 * 10 * 0.5) / 10^4 = 0.05 м, или 5 см.
Теперь найдём длину сжатой пружины, когда ящик удерживается на наклонной плоскости. Длина вдоль наклона равна l = 0.5 / sin 30 = 0.5 / 0.5 = 1 м.
Длина пружины в недеформированном состоянии L будет суммой длины сжатой пружины l и величины сжатия dx: L = l + dx = 1 + 0.05 = 1.05 м.
Итак, длина пружины в недеформированном состоянии равна 1.05 м.
4. К нижнему концу лёгкой пружины подвешены связанные невесомой нитью грузы: верхний массой m1 = 0,5 кг и нижний массой m2 = 0,2 кг. Нить, соединяющую грузы, пережигают. Определите проекцию ускорения на направленную вниз ось ОY, с которым начнёт двигаться верхний груз.
Дано: m1 = 0.5 кг (верхний груз) m2 = 0.2 кг (нижний груз) g = 10 м/с^2
После разрыва нити на верхний груз m1 продолжает действовать сила натяжения пружины T, которая до разрыва уравновешивала вес обоих грузов.
Найдём силу натяжения T: T = (m1 + m2) * g = (0.5 + 0.2) * 10 = 7 Н
После разрыва нити на верхний груз m1 действуют две силы: его вес (m1 * g) и сила натяжения T. Найдём ускорение a, используя второй закон Ньютона: m1 * a = m1 * g - T
Подставляем значения: 0.5 * a = 0.5 * 10 - 7 0.5 * a = 5 - 7 = -2
Выразим a: a = -2 / 0.5 = -4 м/с^2 Ответ: проекция ускорения на ось OY, направленную вниз, равна -4 м/с^2