1. Как должна быть направлена сила, чтобы тело начало вращаться относительно фиксированной оси? При каком направлении силы такое вращение не возникает?
Сила, чтобы тело начало вращаться относительно фиксированной оси, должна быть приложена с определённым плечом относительно этой оси. Направление силы должно быть таким, чтобы её составляющая создавала вращающий момент относительно оси. Если сила направлена вдоль оси вращения или через неё, вращение не возникает, так как плечо силы в этом случае равно нулю, и, следовательно, момент силы отсутствует.
2. Что такое центр тяжести тела? Как он определяется экспериментально? Где будет находиться центр тяжести однородного диска, кольца, тонкой треугольной пластинки?
Центр тяжести тела — это точка, в которой можно считать сосредоточенной всю его массу для целей описания движения и равновесия. Экспериментально центр тяжести определяется с помощью метода подвеса: если тело подвесить за любую точку и дать ему возможность свободно вращаться, то центр тяжести всегда окажется на вертикальной линии, проходящей через точку подвеса. Для однородного диска и кольца центр тяжести находится в их геометрическом центре. У тонкой треугольной пластинки центр тяжести будет находиться на пересечении медиан.
3. Дайте определения момента силы, плеча силы. Как определяется знак момента силы?
Момент силы — это величина, характеризующая вращательное действие силы на тело относительно точки или оси. Он определяется как произведение модуля силы на её плечо, которое представляет собой расстояние от линии действия силы до оси вращения. Плечо силы — это кратчайшее расстояние от точки вращения до линии действия силы. Знак момента силы определяется направлением вращения: момент считается положительным, если вращение происходит против часовой стрелки, и отрицательным — если по часовой стрелке.
4. Сформулируйте условие статического равновесия для вращательного движения.
Условие статического равновесия для вращательного движения заключается в том, что алгебраическая сумма всех моментов сил относительно любой оси должна быть равна нулю. Это означает, что силы, действующие на тело, должны быть уравновешены так, чтобы не происходило его вращения.
5. При каких условиях тело находится в равновесии в инерциальной системе отсчёта?
В инерциальной системе отсчёта тело находится в равновесии, если сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю (условие равновесия поступательного движения), а также сумма всех моментов сил относительно любой точки или оси равна нулю (условие равновесия вращательного движения).
1. Найдите суммарный момент сил F1 = 100 Н и F2 = 100 Н (рис. 157).
Дано: F1 = 100 Н, F2 = 100 Н, r = 24 см = 0.24 м.
Определение момента силы: Момент силы M определяется как: M = F * r * sin(α), где F — сила, r — плечо силы (расстояние до точки вращения), α — угол между направлением силы и радиусом.
Для силы F1: Угол между радиусом и силой F1 составляет 50°, поэтому: M1 = 100 Н * 0.24 м * sin(50°).
Для силы F2: Сила F2 направлена перпендикулярно радиусу, то есть угол α = 90°. Поэтому: M2 = 100 Н * 0.24 м * sin(90°).
Суммарный момент: Суммарный момент M_сум складывается с учетом знаков, которые зависят от направления вращения: M_сум = M1 + M2.
Решение:
Вычислить M1: M1 = 100 * 0.24 * sin(50°) ≈ 100 * 0.24 * 0.766 ≈ 18.38 Н·м.
Вычислить M2: M2 = 100 * 0.24 * 1 = 24 Н·м.
Найти M_сум: M_сум = 18.38 + 24 ≈ 42.38 Н·м.
Ответ: суммарный момент сил составляет примерно 42.38 Н·м.
2. Какая сила потребуется рабочему для вертикального смещения камня массой М = 100 кг (рис. 158), если R = 120 см, r = 24 см?
Дано: M = 100 кг, R = 120 см = 1.2 м, r = 24 см = 0.24 м, ускорение свободного падения g = 9.8 м/с².
Сила тяжести камня: Сила тяжести F_тяж = M * g. F_тяж = 100 кг * 9.8 м/с² = 980 Н.
Условие равновесия для подъема камня: Для подъема камня сила F, приложенная к большому радиусу R, уравновешивает силу тяжести, действующую на малый радиус r:
F * R = F_тяж * r.
Найти силу F: F = (F_тяж * r) / R.
Подставим значения: F = (980 Н * 0.24 м) / 1.2 м. F ≈ (235.2 Н·м) / 1.2 м. F ≈ 196 Н.
Ответ: сила, которую должен приложить рабочий для вертикального смещения камня, составляет примерно 196 Н.
3. Найдите направления и числовые значения сил нормальной реакции опоры в местах крепления трамплина (рис. 159). Масса прыгуна 60 кг, массой однородного трамплина можно пренебречь.
Масса прыгуна: 60 кг Ускорение свободного падения: 10 м/с² Расстояние от прыгуна до левой опоры: 1 метр Расстояние от прыгуна до правой опоры: 3 метра Найдём вес прыгуна Вес прыгуна — это сила, с которой он действует на трамплин. Вес вычисляется как масса, умноженная на ускорение свободного падения: Вес прыгуна = 60 кг * 10 м/с² = 600 Н (ньютонов)
Расчёт силы реакции левой опоры (обозначим её как N1) Рассмотрим трамплин как рычаг и возьмём точку опоры у правой опоры.
По правилу моментов: N1 * 1 м = 600 Н * 3 м
Чтобы найти N1, подставим значения и решим уравнение: N1 = 600 Н * 3 м / 1 м = 1800 Н
Расчёт силы реакции правой опоры (обозначим её как N0) Теперь рассматриваем точку опоры у левой опоры трамплина.
По правилу моментов: N0 * 3 м = 600 Н * (1 м + 3 м)
Подставим значения и решим уравнение: N0 = 600 Н * 4 м / 3 м = 800 Н
Ответ Сила реакции левой опоры (N1) равна 1800 Н. Сила реакции правой опоры (N0) равна 800 Н.
4. Однородная лестница прислонена к стене. При каком минимальном угле а с поверхностью пола она начнёт скользить (рис. 160)? Коэффициенты трения покоя лестницы о пол μ1 = 0.5. о стенку μ2 = 0.4.
Дано:
Коэффициент трения о пол μ1 = 0.5, Коэффициент трения о стенку μ2 = 0.4. Решение: На лестницу действуют силы:
Сила тяжести Mg, направленная вниз из центра тяжести, Сила нормальной реакции пола N1, Сила трения пола Fтр1 = μ1 * N1, Сила нормальной реакции стены N2, Сила трения стены Fтр2 = μ2 * N2. Условия равновесия:
Горизонтальное равновесие: N2 = μ1 * N1.
Вертикальное равновесие: N1 = Mg + μ2 * N2.
Подставим первое уравнение во второе: N1 = Mg + μ2 * (μ1 * N1).
Решим относительно N1: N1 = Mg / (1 - μ2 * μ1).
Условие моментов относительно точки контакта с полом: Mg * (L/2) * cos(α) = N2 * L * sin(α).
Подставим N2 = μ1 * N1 и сократим на L: Mg * (1/2) * cos(α) = μ1 * N1 * sin(α).
Заменим N1 из предыдущего выражения: Mg * (1/2) * cos(α) = μ1 * (Mg / (1 - μ2 * μ1)) * sin(α).
Сократим на Mg: (1/2) * cos(α) = μ1 * sin(α) / (1 - μ2 * μ1).
Разделим обе части на cos(α) и преобразуем: tan(α) = 2 * μ1 / (1 - μ2 * μ1).
Подставим значения: tan(α) = 2 * 0.5 / (1 - 0.4 * 0.5). tan(α) = 1 / (1 - 0.2). tan(α) = 1 / 0.8. tan(α) = 1.25.
Найдём α: α = arctan(1.25) ≈ 51.3°.
Ответ: Минимальный угол α ≈ 51.3°.
5. Четыре кирпича находятся в равновесии над столом, образуя как бы часть арки. Найдите предельные расстояния, на которые каждый следующий кирпич сверху может выступать на расположенном под ним (рис. 161).
Каждый кирпич может выступать над предыдущим, при этом центр масс всей конструкции должен оставаться над столом для устойчивости.
Условие равновесия: Для устойчивости центр масс каждого следующего кирпича не должен выходить за пределы предыдущего.
Максимальные выступы можно определить по формуле: x_n = L / (2n), где L — длина кирпича, n — номер кирпича (1, 2, 3, 4).
Выступы для каждого кирпича:
Для 1-го кирпича: x_1 = L/2. Для 2-го кирпича: x_2 = L/4. Для 3-го кирпича: x_3 = L/6. Для 4-го кирпича: x_4 = L/8. Ответ: Максимальные выступы для каждого кирпича составляют L/2, L/4, L/6 и L/8 соответственно.