1. Что называют первой и второй космической скоростью? Каковы их значения?
Первой космической скоростью называют минимальную скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно перешло на круговую орбиту вокруг планеты. Для Земли она равна примерно 7,9 км/с. Вторая космическая скорость — это минимальная скорость, при которой тело может преодолеть притяжение планеты и навсегда покинуть её, то есть стать свободным от гравитации. Для Земли она равна примерно 11,2 км/с.
2. Сформулируйте определения перигея и апогея эллиптической орбиты.
Перигеем называют ближайшую к Земле точку орбиты спутника, а апогеем — самую дальнюю от Земли точку орбиты.
3. По какой траектории движется тело, имеющее скорость: 1)v<vI,2)v = vI, 3) vI<v<vII, 4) v = vII; 5) v > vII?
Если скорость тела меньше первой космической, оно падает на Землю. При скорости, равной первой космической, тело движется по круговой орбите. Если скорость между первой и второй космическими, траектория становится эллиптической. Когда скорость равна второй космической, тело уходит по параболе, а если больше — по гиперболе.
4. Какой фактор способствует стягиванию всех тел во Вселенной в одно сплошное образование и какой фактор препятствует этому объединению?
Все тела во Вселенной стягиваются под действием силы гравитации, а препятствует этому их движение — инерция, которая не даёт им соединиться в одно целое.
5. Солнце притягивает Луну сильнее, чем Земля. Почему в таком случае Луна — спутник Земли, а не самостоятельная планета?
Хотя Солнце действительно тянет Луну сильнее, чем Земля, Луна всё же спутник Земли, потому что она движется вместе с Землёй вокруг Солнца. Гравитация Земли удерживает Луну вблизи себя, и её орбитальное движение связано именно с земным притяжением, а не с солнечным.
1. Спутник вращается вокруг Земли на небольшой высоте. Определите период его обращения, если радиус Земли R = 6400 км.
Дано R = 6400 км = 6.4·10^6 м. Для спутника на небольшой высоте радиус орбиты ≈ R, период T = 2π·√(R^3 / (G M)) используем GM = g R^2, где g ≈ 9.8 м/с², получается T = 2π·√(R / g). Подстановка: R/g = 6.4·10^6 / 9.8 ≈ 6.5306·10^5, √(...) ≈ 808.14, T ≈ 2π·808.14 ≈ 5080.5 с ≈ 84.7 мин ≈ 1 ч 24.7 мин.
2. Чему равна плотность планеты, если период обращения вокруг неё спутника, движущегося на небольшой высоте, равен Т?
Пусть масса планеты M = (4/3)π R^3 ρ. Тогда для спутника на малой высоте T = 2π·√(R^3 / (G M)) = 2π·√(1 / ((4/3)π G ρ)). Из этого следует простая формула для плотности через период: ρ = 3π / (G T^2).
3. Вокруг звезды по круговым орбитам, радиусы которых R1 и R2. вращаются две планеты. Период обращения первой планеты Т1. Найдите период обращения второй планеты.
По третьему закону Кеплера T^2 ∝ R^3, поэтому для двух орбит: T2 = T1 · (R2 / R1)^{3/2}.
4. Чему равна первая космическая скорость на планете, масса и радиус которой в 2 раза больше, чем у Земли?
Первая космическая скорость v₁ = √(G M / R). Для планеты с M' = 2 M⊕ и R' = 2 R⊕ v₁' = √(G·2M⊕ / (2R⊕)) = √(G M⊕ / R⊕) = v₁⊕. То есть первая космическая скорость такая же, как у Земли, ≈ 7.9 км/с.
5. Найдите вторую космическую скорость для планеты, имеющей радиус, равный радиусу Земли, и плотность, в 4 раза превышающую плотность Земли.
Вторая космическая скорость v₂ = √(2 G M / R). При R' = R⊕ и плотности ρ' = 4 ρ⊕ имеем M' = 4 M⊕, поэтому v₂' = √(2 G · 4M⊕ / R⊕) = 2 · √(2 G M⊕ / R⊕) = 2 · v₂⊕. Так как v₂⊕ ≈ 11.2 км/с, то v₂' ≈ 22.4 км/с.