1. Из чего складывается полная механическая энергия системы? Сформулируйте закон изменения механической энергии.
Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий то есть E полная равно E кинетическая плюс E потенциальная где E кинетическая равна половине m v² а E потенциальная веса равна m g h. Закон изменения механической энергии гласит что изменение полной механической энергии равно работе невозвратных сил над системой иначе ΔE полная равно A невозвратных. В случае если вне системы не действует работа невозвратных сил или она равна нулю механическая энергия меняется только за счёт перераспределения между кинетической и потенциальной частями.
2. Выделите главный отличительный признак консервативной системы тел.
Главный отличительный признак консервативной системы в том что силы внутри системы консервативны то есть работа этих сил при перемещении тела между двумя точками не зависит от пути и можно ввести скалярную функцию потенциальной энергии для описания их работы. Это позволяет записать что работа консервативных сил равна отрицательной разности потенциальной энергии.
3. При каких условиях полная механическая энергия системы сохраняется?
Полная механическая энергия сохраняется при отсутствии работы невозвратных сил или когда суммарная работа всех внешних и внутренне действующих неконсервативных сил равна нулю. Проще говоря энергия сохраняется если действуют только консервативные силы и отсутствуют трение деформация и другие диссипативные процессы.
4. Воспользовавшись решением I (см. рис. 114), определите скорость мяча, падающего на Землю без начальной скорости с высоты 1.5 м.
Чтобы найти скорость мяча падающего с высоты 1.5 м воспользуемся законом сохранения механической энергии при отсутствии сопротивления воздуха. Начальная кинетическая энергия ноль и начальная потенциальная энергия равна m g h. В момент удара вся потенциальная переходит в кинетическую поэтому m g h равно ½ m v² откуда v равно корню квадратному из 2 g h. Подставляем g равно 9.81 м/с² и h равно 1.5 м получаем v равно sqrt(2·9.81·1.5) равно sqrt(29.43) равно 5.42 м/с. Это и есть скорость мяча у поверхности Земли.
5. Почему снаряды, выпущенные из одного орудия под разными углами к горизонту, имеют одинаковую скорость на одной и той же высоте?
Снаряды выпущенные с одинаковой начальной скоростью под разными углами имеют одинаковую скорость на одной и той же высоте потому что при пренебрежении сопротивлением воздуха полная механическая энергия сохраняется. На данной высоте кинетическая энергия каждого снаряда равна начальной кинетической минус изменение потенциальной m g Δh которое одно и то же для одинаковой высоты, значит модули скоростей совпадают. Это же объясняет симметрию траекторий при углах α и 90°−α если начальная скорость одинаковая.
1. Найдите максимальную высоту, на которую поднимется камень, брошенный вертикально вверх со скоростью v0 = 20 м/с.
Для вертикального броска при отсутствии сопротивления воздуха выполняется формула максимальной высоты h = v0² / (2 g) где g = 9.81 м/с². Подставляем v0 = 20 м/с значит h = 20² / (2 · 9.81) = 400 / 19.62 = 20.387... м. Округлённо максимальная высота равна 20.39 м.
2. Пружинный пистолет выбрасывает резиновую пулю на высоту 18 м над поверхностью Земли. На какую максимальную высоту поднялась бы пуля, если бы выстрел был сделан с поверхности Марса?
Если на Земле пуля поднимается на высоту 18 м то её начальная скорость v0 связана с этой высотой соотношением v0² = 2 gEarth · 18. Считаем v0² = 2 · 9.81 · 18 = 353.16 м²/с². На Марсе ускорение свободного падения gMars ≈ 3.71 м/с² поэтому максимальная высота на Марсе hMars = v0² / (2 gMars) = 353.16 / (2 · 3.71) = 353.16 / 7.42 = 47.59 м. Округлённо пуля поднялась бы на 47.6 м.
3. Найдите скорость входа прыгуна в воду с пятиметрового трамплина, если на-чальная горизонтальная скорость спортсмена v0 = 5 м/с.
Горизонтальная скорость остаётся постоянной vx = v0 = 5 м/с. Вертикальная скорость при падении с высоты H = 5 м равна vy = sqrt(2 g H) = sqrt(2 · 9.81 · 5) = sqrt(98.1) = 9.905... м/с. Скорость входа в воду это модуль суммарной скорости v = sqrt(vx² + vy²) = sqrt(5² + 9.905²) = sqrt(25 + 98.1) = sqrt(123.1) = 11.09 м/с. Округлённо скорость равна 11.09 м/с.
4. Авиалайнер летит на высоте 9,2 км со скоростью 1080 км/ч. Принимая, что нуль отсчёта потенциальной энергии находится на поверхности Земли, найдите, какую часть от полной механической энергии составляют соответственно кинетическая и потенциальная энергии.
Переведём скорость в систему СИ 1080 км/ч = 1080·1000 / 3600 = 300 м/с. Высота h = 9.2 км = 9200 м. Кинетическая энергия на единицу массы k = v² / 2 = 300² / 2 = 90000 / 2 = 45000 Дж/кг. Потенциальная энергия на единицу массы u = g h = 9.81 · 9200 = 90252 Дж/кг. Полная механическая энергия на единицу массы E = k + u = 45000 + 90252 = 135252 Дж/кг. Доля кинетической энергии равна k / E = 45000 / 135252 = 0.3328 то есть 33.28 процента. Доля потенциальной энергии равна u / E = 90252 / 135252 = 0.6672 то есть 66.72 процента. Округлённо кинетическая 33.3 процента потенциальная 66.7 процента.
5. Ядро массой m = 5 кг свободно падает на Землю с высоты Н = 10 м. Определите изменения потенциальной и кинетической энергий ядра в точке падения. Найдите скорость ядра на высоте H = 5 м и при ударе о Землю, пренебрегая сопро-тивлением воздуха.
Масса m = 5 кг высота H = 10 м. Потенциальная энергия на высоте H равна U0 = m g H = 5 · 9.81 · 10 = 490.5 Дж. На поверхности Земли потенциальная энергия примет значение Ufinal = 0 поэтому изменение потенциальной энергии ΔU = Ufinal − U0 = −490.5 Дж. По закону сохранения энергии изменение кинетической энергии равно противоположно изменению потенциальной то есть ΔK = +490.5 Дж. Скорость на высоте H = 5 м получаем из преобразования потенциальной энергии m g (10 − 5) в кинетическую. Вертикальное падение на 5 м даёт v(H=5) = sqrt(2 g · 5) = sqrt(98.1) = 9.905 м/с. Кинетическая энергия в этой точке K = 0.5 m v² = 0.5 · 5 · 98.1 = 245.25 Дж. При ударе о Землю скорость vground = sqrt(2 g · 10) = sqrt(196.2) = 14.007... м/с то есть 14.01 м/с. Кинетическая энергия при ударе Kground = 0.5 · 5 · 196.2 = 490.5 Дж что равняется потере потенциальной энергии.