1. При каком условии систему тел можно считать замкнутой? Приведите примеры замкнутых систем.
Систему тел можно считать замкнутой, если на неё не действуют внешние силы, или их действие настолько мало, что можно пренебречь. Это означает, что сумма внешних сил равна нулю, а все взаимодействия происходят только между телами внутри системы. Примером замкнутой системы является столкновение двух тел в пространстве, где внешние силы незначительны. Ещё один пример — система атомов в молекуле, где силы между ними обеспечивают устойчивость структуры.
2. Сформулируйте закон сохранения импульса. Как эффект отдачи используется в реактивном движении?
Закон сохранения импульса гласит, что в замкнутой системе суммарный импульс остаётся постоянным, если на неё не действуют внешние силы. Это значит, что изменение импульса одного тела всегда компенсируется равным и противоположно направленным изменением импульса другого тела в системе. В реактивном движении, таком как движение ракеты, эффект отдачи позволяет ракете двигаться в противоположную сторону от выталкиваемого топлива. Импульс, сообщаемый выхлопу газов, компенсируется импульсом, сообщаемым ракете, что и обеспечивает её движение.
3. Якорь дважды бросают с носа лодки в сторону кормы с одинаковой начальной скоростью под одним и тем же углом к горизонту. В первом случае, когда лодка пришвартована к пирсу, якорь падает на край кормы. Куда упадёт якорь во втором случае, когда лодка покоится на воде, но не пришвартована?
Во втором случае, когда лодка свободно покоится на воде, якорь упадёт немного ближе к носу лодки, а не на край кормы. Это происходит из-за обратного движения лодки при броске якоря: в отличие от случая с пришвартованной лодкой, здесь лодка тоже начинает двигаться в противоположную сторону (к носу), чтобы компенсировать импульс якоря.
4. Почему лодка начинает отплывать от берега, когда человек выходит из неё на причал?
Когда человек выходит из лодки, его толчок на причал вызывает обратную реакцию лодки — по закону сохранения импульса, лодка двигается назад. Это происходит из-за того, что, отталкиваясь от лодки, человек придаёт ей импульс в противоположном направлении, заставляя её отплывать от берега.
5. Почему для запуска космических кораблей с поверхности Земли используются многоступенчатые ракеты?
Многоступенчатые ракеты используются, потому что каждый дополнительный уровень или ступень ракеты позволяет сократить вес всей системы по мере достижения больших высот. После выработки топлива одна ступень отбрасывается, уменьшая массу ракеты и улучшая соотношение массы к тяге для следующей ступени. Это позволяет достичь высокой скорости и выйти на орбиту с меньшими затратами топлива, что необходимо для преодоления земного притяжения и экономичного запуска космических кораблей.
1. Два шара массой m1 = 1 кг и m2 = 2 кг скользят по гладкой горизонтальной поверхности на запад и север со скоростью v1 = 10 м/с и v2 = 5 м/с соответственно. Определите направление и модуль импульса системы двух шаров.
Чтобы определить направление и модуль импульса системы двух шаров, рассмотрим их индивидуальные импульсы, а затем сложим их векторно.
Импульс p тела рассчитывается по формуле p = m * v.
Для шара массой m1 = 1 кг, движущегося на запад со скоростью v1 = 10 м/с:
p1 = m1 * v1 = 1 кг * 10 м/с = 10 кг*м/с
Этот импульс направлен на запад.
Для шара массой m2 = 2 кг, движущегося на север со скоростью v2 = 5 м/с:
p2 = m2 * v2 = 2 кг * 5 м/с = 10 кг*м/с
Этот импульс направлен на север.
Теперь найдём суммарный импульс системы. Поскольку импульсы направлены перпендикулярно друг другу (на запад и на север), используем теорему Пифагора для расчёта модуля результирующего импульса:
p системы = √(p1^2 + p2^2) = √(10^2 + 10^2) = √(100 + 100) = √200 = 10√2 ≈ 14.14 кг*м/с
Для определения направления результирующего импульса относительно запада (по движению первого шара), находим угол θ по формуле:
θ = arctan(p2 / p1) = arctan(10 / 10) = arctan(1) = 45°
Таким образом, результирующий импульс системы равен примерно 14.14 кг*м/с и направлен под углом 45° северо-запад.
2. Граната массой 1 кг, летящая со скоростью 20 м/с на запад, разрывается на два осколка. Один массой 0.2 кг начинает двигаться со скоростью 500 м/с в направлении полёта гранаты. В каком направлении и с какой скоростью полетит другой осколок?
Для решения задачи используем закон сохранения импульса, который гласит, что суммарный импульс до и после взрыва остаётся неизменным.
До взрыва импульс гранаты:
p0 = m0 * v0 = 1 кг * 20 м/с = 20 кг·м/с (на запад).
После взрыва граната разделилась на два осколка массами m1 = 0.2 кг и m2 = 0.8 кг. Один осколок движется со скоростью v1 = 500 м/с на запад. Найдём импульс второго осколка, который движется со скоростью v2.
Суммарный импульс после взрыва:
p1 + p2 = p0.
Подставим значения:
m1 * v1 + m2 * v2 = 20.
Подставим известные величины:
0.2 * 500 + 0.8 * v2 = 20.
Вычислим:
100 + 0.8 * v2 = 20.
0.8 * v2 = 20 - 100.
0.8 * v2 = -80.
v2 = -80 / 0.8.
v2 = -100 м/с.
Отрицательное значение скорости означает, что второй осколок полетит в противоположном направлении, то есть на восток, со скоростью 100 м/с.
3. Из орудия, установленного на гладкой горизонтальной поверхности, вылетает снаряд массой m = 20 кг со скоростью v0 = 200 м/с под углом а = 30° к горизонту. Какую скорость приобретёт орудие после выстрела, если его масса М = 2000 кг?
Для решения этой задачи используем закон сохранения импульса в горизонтальном направлении. Поскольку орудие находится на гладкой поверхности, сила трения отсутствует, и суммарный импульс системы до и после выстрела сохраняется.
Импульс системы до выстрела равен нулю, так как орудие и снаряд покоятся:
p0 = 0.
После выстрела суммарный импульс системы будет равен:
pснаряда + pорудия = 0.
Горизонтальная составляющая импульса снаряда равна:
pснаряда = m * v0 * cos(α),
где m = 20 кг, v0 = 200 м/с, α = 30°.
Подставим численные значения:
pснаряда = 20 * 200 * cos(30°) = 20 * 200 * (√3 / 2) ≈ 20 * 200 * 0.866 ≈ 3464 кг·м/с.
По закону сохранения импульса:
m * v0 * cos(α) = M * V,
где V — скорость орудия после выстрела, M = 2000 кг.
Подставим значения и выразим V:
3464 = 2000 * V.
V = 3464 / 2000.
V ≈ 1.732 м/с.
Скорость орудия после выстрела составит примерно 1.732 м/с в противоположном направлении относительно движения снаряда.
4. Человек массой m = 70 кг переходит с кормы лодки на нос. Масса лодки М = 130 кг, её длина l = 4 м. На какое расстояние и в какую сторону отплывёт лодка?
Чтобы найти расстояние, на которое отплывёт лодка, используется закон сохранения центра масс. Поскольку внешние силы отсутствуют, центр масс системы человек-лодка остаётся на месте.
Изначально человек находится у кормы лодки (в точке x1 = 0), а нос лодки — в точке x2 = l = 4 м. Положение центра масс системы в начале можно выразить:
xц.м.нач = (m * 0 + M * l/2) / (m + M).
xц.м.нач = (130 * 2) / (70 + 130) = 260 / 200 = 1.3 м.
Теперь человек переходит на нос лодки (в точку x2 = 4 м). Новое положение центра масс:
xц.м.кон = (m * 4 + M * l/2) / (m + M).
xц.м.кон = (70 * 4 + 130 * 2) / 200 = (280 + 260) / 200 = 540 / 200 = 2.7 м.
Поскольку центр масс системы должен остаться на том же месте, лодка сместится на расстояние:
Δx = xц.м.нач - xц.м.кон.
Δx = 1.3 - 2.7 = -1.4 м.
Отрицательное значение указывает на то, что лодка отплывёт назад на 1.4 м относительно направления движения человека.
5. Снаряд, вылетевший из орудия, разорвался в верхней точке траектории на высоте 1960 м на два равных осколка. Скорость снаряда перед разрывом равна 100 м/с. Один из осколков полетел горизонтально в обратном направлении со скоростью, вдвое большей. На каком расстоянии друг от друга осколки упадут на землю?
Импульс системы перед разрывом:
mv0 = (m/2) * vo1 + (m/2) * vo2
Упростив уравнение:
2v0 = vo1 + vo2
По условию один осколок полетел в обратном направлении со скоростью, вдвое большей скорости снаряда перед разрывом:
vo1 = -2v0
Подставим vo1 в уравнение:
2v0 = -2v0 + vo2
Решая для vo2:
vo2 = 4v0
Теперь найдем расстояние между осколками, используя формулу дальности полета для горизонтально движущихся тел:
L = L1 + L2
Где L1 и L2 — дальности полета осколков. Для первого осколка:
L1 = vo1 * sqrt(2h/g)
Для второго осколка:
L2 = vo2 * sqrt(2h/g)
Подставим выражения для vo1 и vo2:
L1 = (-2v0) * sqrt(2h/g), L2 = 4v0 * sqrt(2h/g)
Найдем общее расстояние:
L = (-2v0) * sqrt(2h/g) + 4v0 * sqrt(2h/g) = 6v0 * sqrt(2h/g)
Подставим значения v0 = 100 м/с, h = 1960 м, g = 9.8 м/с^2:
L = 6 * 100 * sqrt(2 * 1960 / 9.8)
L = 600 * sqrt(400) = 600 * 20 = 12000 м = 12 км
Осколки упадут на расстоянии 12 км друг от друга.