1. Какая модель используется для описания баллистического движения тела? Почему?
Для баллистического движения используют модель материальной точки в однородном вертикальном поле тяжести при отсутствии сопротивления воздуха. В этой модели на тело действует только сила тяжести, ускорение свободного падения g постоянно и направлено вертикально вниз. Модель применяется потому что она даёт простую аналитическую картину траектории в виде параболы и хорошо подходит когда размеры тела малы по сравнению с расстояниями полёта и сопротивление воздуха можно пренебречь.
2. Объясните, почему при баллистическом движении тело движется по горизонтали равномерно, а по вертикали равнопеременно.
Движение разбивают на независимые горизонтальную и вертикальную составляющие. По горизонтали нет ускорения (если нет сопротивления воздуха), значит горизонтальная скорость постоянна и движение равномерное. По вертикали действует ускорение −g, значит вертикальная скорость меняется линейно по времени и движение равнопеременное по закону v_y = v0_y − g t и y = v0_y t − (g t^2)/2. Сочетание этих двух движений даёт параболу в пространстве.
3. Какой угол должна составлять начальная скорость тела с горизонтом, чтобы дальность полёта в отсутствие сопротивления воздуха была максимальной? Приведите необходимую формулу для аргументации.
Для движения с начальной скоростью v0 на одном уровне дальность R в вакууме выражается формулой R = v0^2 · sin(2α) / g Чтобы R было максимальным, нужно максимизировать sin(2α). Максимум sin равен 1 при 2α = 90° то есть α = 45°. Значит при равных высотах старт/приход угол 45° даёт максимальную дальность.
4. Как сила сопротивления воздуха влияет на баллистическое движение и на максимальную дальность полёта снарядов и пуль?
Сопротивление воздуха уменьшает дальность и высоту подъёма и делает траекторию асимметричной. Силу сопротивления обычно моделируют как сила, направленная против скорости и зависящая от v или v^2. При реальном квадратичном сопротивлении F_drag ≈ k v^2 горизонтальная скорость быстро уменьшается, что сильно сокращает дальность, особенно для быстрых снарядов и пуль. Из-за сопротивления оптимальный угол запуска становится меньше 45° и зависит от скорости начального выстрела формы снаряда плотности воздуха и коэффициента сопротивления.
5. Определите угол, при котором максимальная высота подъёма снаряда равна максимальной дальности полёта.
Требуется угол α при котором максимальная высота H равна дальности R. Для запуска с уровня земли при отсутствии воздуха выполняются формулы H = v0^2 · sin^2 α / (2 g) R = v0^2 · sin(2α) / g = v0^2 · 2 sin α cos α / g Приравниваем H и R и сокращаем v0^2/g получаем sin^2 α / 2 = 2 sin α cos α Разделяем на sin α (sin α ≠ 0) и получаем ( sin α ) / 2 = 2 cos α Отсюда tan α = 4 и α = arctan 4 ≈ 76° (приблизительно 75.96°). Это тот угол при котором H = R в идеальной модели без сопротивления воздуха.
1. Из окна дома с высоты 19,6 м горизонтально брошена монета со скоростью 5 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите, через какой промежуток времени монета упадёт на Землю. На каком расстоянии по горизонтали от дома находится точка падения?
Высота h = 19,6 м, начальная вертикальная скорость 0, g = 9,8 м/с². Время падения t находим из уравнения h = (g t²) / 2, значит t² = 2h / g = 2·19,6 / 9,8 = 39,2 / 9,8 = 4, откуда t = 2 с. Горизонтальное расстояние x = v_x · t, v_x = 5 м/с, значит x = 5 · 2 = 10 м.
2. Используя условие задачи 1, найдите скорость падения монеты и угол, который образует вектор скорости с горизонтом в точке падения.
Горизонтальная скорость v_x = 5 м/с постоянна. Вертикальная скорость при падении v_y = g · t = 9,8 · 2 = 19,6 м/с вниз. Модуль скорости v = sqrt(v_x² + v_y²) = sqrt(5² + 19,6²) = sqrt(25 + 384,16) = sqrt(409,16) ≈ 20,22 м/с. Угол к горизонту вниз θ = arctan(|v_y| / v_x) = arctan(19,6 / 5) ≈ arctan(3,92) ≈ 75,5°. Скорость при падении примерно 20,2 м/с под углом 75,5° вниз от горизонта.
3. Длина скачка блохи на столе, прыгающей под углом 45° к горизонту, равна 20 см. Во сколько раз высота её подъёма над столом превышает её собственную длину, составляющую 0,4 мм?
При угле 45° дальность R связана с начальной скоростью v0 формулой R = v0² / g. Максимальная высота H равна v0² / (4 g) = R / 4. Значит H = 20 см / 4 = 5 см. Длина блохи 0,4 мм = 0,04 см. Отношение H к длине = 5 / 0,04 = 125. Высота подъёма в 125 раз больше её длины.
4. Мяч, брошенный под углом 45е к горизонту, упруго отскочив от вертикальной стены, расположенной на расстоянии L от точки бросания, ударяется о землю на расстоянии I от стены. С какой начальной скоростью был брошен мяч?
Обозначим v0 начальную скорость. Горизонтальная скорость до удара v_x = v0 / √2. Время до столкновения t1 = L / v_x = L √2 / v0. После удара горизонталь меняет знак, модуль скорости тот же. Время от удара до падения t2 = I / v_x = I √2 / v0. Высота в момент удара y1 = L - g L² / v0². Условие падения после второго интервала даёт уравнение L + I - g (L + I)² / v0² = 0. Отсюда v0² = g (L + I). Значит v0 = sqrt(g · (L + I)). Начальная скорость равна корню из g умноженного на сумму L и I.
5. Под каким углом к горизонту охотник должен направить ствол ружья, чтобы попасть в птицу, сидящую на высоте Н на дереве, находящемся на расстоянии / от охотника? В момент выстрела птица начинает свободно падать на землю.
Если пренебречь сопротивлением воздуха и пуля летит достаточно быстро чтобы достичь горизонтального расстояния l, то гравитация действует одинаково на птицу и на пулю. Значит если охотник прицелится прямо на птицу, пуля и птица упадут одинаково за одно и то же время и попадание состоится. Поэтому направлять ствол нужно прямо на птицу, угол α относительно горизонта равен arctan(H / l). При этом требуется чтобы начальная скорость пули была достаточна для преодоления расстояния l до точки встречи.