1. Запишите закон свободного падения тела, падающего без начальной скорости с высоты Н. выбрав начало отсчёта на Земле, а ось У направив вверх. Постройте график зависимости y(t).
Закон свободного падения при исходном условии: начало отчёта на Земле, ось Oy вверх, начальная скорость v0 = 0, начальная координата y(0) = H. Тогда y(t) = H - g t^2 / 2.
2. Как выглядят графики зависимости скорости и ускорения свободного падения монеты при выборе координатной оси У так же. как и в вопросе 1?
Проекции скорости и ускорения при том же выборе оси: v(t) = dy/dt = - g t, график — прямая через 0 с угловым коэффициентом -g; a(t) = d v/dt = - g, график — постоянная линия a = -g.
3. Какой физический смысл может иметь отброшенный корень квадратного уравнения (19), не решённого нами явно, когда у = -Н?
Отрицательный корень квадратного уравнения (времени) означает формально момент времени до принятого начала отсчёта. Физически он не относится к ходу эксперимента (он показывает, в какой момент до t = 0 тело проходило ту же координату, если продолжить математическую модель назад).
4. Чем объяснить отличие друг от друга графиков перемещения и пути тела, брошенного вверх в поле силы тяжести (см. рис. 42)?
Путь s(t) — скалярная величина, всегда неотрицательная и монотонно возрастает при движении без возвращений; перемещение (смещение) y(t) — проекция вектора перемещения, может менять знак и уменьшаться. Поэтому график перемещения может быть, например, симметричным при движении вверх и вниз, а график пройденного пути будет расти вверх и не станет отрицательным.
5. Постройте графики зависимости от времени пути, проекции перемещения, скорости и ускорения тела, брошенного вертикально вниз со скоростью о0 с высоты Н. Направьте ось У вниз, выбрав начало отсчёта по оси У в точке бросания.
Тело брошено вертикально вниз со скоростью v0 из точки, в которой берут начало координат и направление оси Oy вниз. Тогда уравнения: y(t) = v0 t + g t^2 / 2, v(t) = v0 + g t, a(t) = g. Графики: y(t) — парабола, начиная в 0 и выпуклая вверх; v(t) — прямая, проходящая через v0 при t=0 с угловым коэффициентом g; a(t) — постоянная горизонтальная линия a = g.
1. Какой путь проходит свободно падающая (без начальной скорости) капля за четвёртую секунду от момента отрыва?
Путь, пройденный свободно падающей каплей за четвертую секунду, равен s(4) - s(3), где s(t) = g t^2 / 2. Значит s4 = (g/2)(4^2 - 3^2) = (g/2)(16 - 9) = (g/2)7 = 3.5 g. При g = 9.8 м/с^2 это 3.59.8 = 34.3 м.
2. С крыши дома через промежуток времени τ одна за другой падают капли. Запишите закон движения капель. Постройте в одних координатных осях Y, t графики движения первой, второй, третьей, n-й капель.
Пусть k-я капля отрывается в момент t_k = (k-1) tau (k = 1,2,...), отсчёт времени от момента первого отрыва. Для k-й капли закон движения (координата вниз от крыши) для t >= t_k: y_k(t) = (g/2) (t - (k-1) tau)^2. Графики Y(t) для разных капель — параболы, сдвинутые вправо на (k-1) tau, начинающиеся в 0 при своём старте.
3. Используя данные задачи 2, найдите расстояние между второй и третьей каплями в момент отрыва с крыши седьмой капли.
Момент отрыва 7-й: t7 = 6 tau. В этот момент время падения 2-й капли = t7 - t2 = 6 tau - tau = 5 tau, её координата y2 = (g/2)(5 tau)^2 = (g/2)*25 tau^2 = 12.5 g tau^2. Время падения 3-й = 6 tau - 2 tau = 4 tau, y3 = (g/2)(4 tau)^2 = (g/2)*16 tau^2 = 8 g tau^2. Расстояние между ними y2 - y3 = (12.5 - 8) g tau^2 = 4.5 g tau^2 = (9/2) g tau^2.
4. Тело свободно падает с высоты H без начальной скорости. Какой путь оно проходит в последнюю секунду движения?
Обозначим полное время падения Т = sqrt(2 H / g). Путь, пройденный в последнюю секунду, равен s(T) - s(T-1) = (g/2)(T^2 - (T-1)^2) = (g/2)(2 T - 1) = g T - g/2. Подставляя T = sqrt(2 H / g), получаем s_last = g sqrt(2 H / g) - g/2 = sqrt(2 g H) - g/2. При желании можно подставить числовое H и g для числа.
5. По рисунку 42, а, оцените начальную скорость v0 мяча, брошенного вертикально вверх. Запишите уравнения зависимости пути s, перемещения y, скорости v и ускорения a от времени t. Постройте графики этих зависимостей, если за начало отсчёта на оси Oy принять точку бросания.
Максимальная высота h_max относительно точки броска связана с начальной скоростью как v0^2 = 2 g h_max, отсюда v0 = sqrt(2 g h_max). После вычисления v0 графики перемещения, скорости и ускорения строятся стандартно: y(t) = v0 t - g t^2 / 2 (если ось Oy вверх и y(0)=0), v(t) = v0 - g t, a(t) = - g. График y(t) — вершина на t = v0 / g, v(t) — прямая, пересекающая ось времени в момент подъёма до верхней точки, a(t) — постоянная линия -g.