1 Какую площадку называют элементарной?
Это очень маленький участок поверхности, настолько малый, что его можно считать плоским. Обозначается как dS.
2. Какое направление принимают за положительное у внешней нормали к элементарной площадке замкнутой поверхности?
Направление наружу изнутри объёма — то есть внешняя нормаль направлена из объёма наружу.
3. Что называют потоком вектора напряжённости электрического поля через элементарную площадку?
Это скалярное произведение вектора напряжённости E на вектор элементарной площадки dS: dΦ = E · dS = E * dS * cos(α), где α — угол между векторами E и dS.
4. Сформулируйте теорему Гаусса для напряжённости электрического поля.
Поток вектора напряжённости E через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов Q внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную ε₀: ∫E · dS = Q / ε₀.
5. Зависит ли модуль напряжённости электростатического поля, созданного равномерно заряженной плоскостью, от расстояния до неё? Как направлен вектор напряжённости этого поля?
Не зависит. Напряжённость поля равномерно заряженной бесконечной плоскости одинакова в любой точке пространства по одну сторону от плоскости.
6. Какова напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженной сферой, внутри и вне этой сферы?
Снаружи сферы: Напряжённость такая же, как если бы весь заряд был сосредоточен в центре: E = k * Q / r², где r — расстояние от центра сферы.
Внутри сферы: Напряжённость прямо пропорциональна расстоянию от центра: E = k * Q * r / R³, где R — радиус сферы, а r < R.
1. Заряды двух концентрических равномерно заряженных сфер с радиусами r1 и r2 (r2 > r1) равны q1 и q2, соответственно. Определите модуль напряжённости электростатического поля в произвольной точке на расстоянии r от центра этих сфер. Постройте график зависимости модуля напряжённости этого поля от r.
Условия: радиусы сфер: r1 и r2 (r2 > r1), заряды: q1 (внутренняя сфера), q2 (внешняя сфера), расстояние от центра: r.
Разберём по областям:
а) r < r1 — точка внутри внутренней сферы: E = 0 (внутри проводящей сферы напряжённость равна нулю).
б) r1 < r < r2 — точка между сферами: E = k * q1 / r²
в) r > r2 — точка вне обеих сфер: E = k * (q1 + q2) / r²
График: от 0 до r1 — E = 0 от r1 до r2 — гипербола E ∝ 1/r² от r2 и дальше — тоже гипербола, но с большим значением в числителе
2. Шар радиусом R заряжен равномерно по объёму. Заряд шара равен Q. Определите модуль напряжённости электростатического поля в произвольной точке на расстоянии г от центра шара. Постройте график зависимости модуля напряжённости от r. (Подсказка: объём шара радиусом r равен 4π*r^3/3.)
Шар радиусом R, заряд Q распределён по объёму.
а) r < R — внутри шара: заряд внутри радиуса r: q = Q * (r³ / R³) E = k * q / r² = k * Q * r / R³
б) r ≥ R — снаружи шара: E = k * Q / r²
График: от 0 до R — линейно растёт (E ∝ r) после R — убывает как гипербола (E ∝ 1/r²)
3. Поверхностные плотности зарядов трёх параллельных плоскостей равны соответственно σ1 = 2 нКл/м2, σ2 = 3 нКл/м2 и σ3 = -5 нКл/м2. Эти плоскости перпендикулярны оси X и пересекают её в точках с координатами х1 = 5 см, х2 = 10 см и х3 = 15 см соответственно. Постройте график зависимости проекции на ось X напряжённости электростатического поля, создаваемого этими плоскостями, при изменении координаты x от 0 до 20 см.
Плоскости с координатами: x1 = 5 см (σ1 = 2 нКл/м²) x2 = 10 см (σ2 = 3 нКл/м²) x3 = 15 см (σ3 = –5 нКл/м²)
Формула поля от одной бесконечной плоскости: E = σ / (2 * ε₀)
В каждом промежутке складываем поля всех плоскостей, учитывая их знак и сторону действия (вектор E направлен от положительной плоскости и к отрицательной).
Результат по интервалам:
от 0 до 5 см: только σ1 влияет, E = –σ1 / (2ε₀)
от 5 до 10 см: σ1 и σ2, E = (σ1 – σ2) / (2ε₀)
от 10 до 15 см: σ1, σ2, σ3 E = (σ1 + σ2 – σ3) / (2ε₀)
от 15 до 20 см: все 3 плоскости «остались сзади», E = (–σ1 – σ2 + σ3) / (2ε₀)
4. Выведите теорему Гаусса для гравитационного поля.
Полная аналогия с электрическим полем, только в роли заряда — масса.
Поток вектора гравитационного поля g через замкнутую поверхность равен: ∫g · dS = –4πG * M
где: G — гравитационная постоянная M — масса внутри замкнутой поверхности знак минус показывает, что поле направлено к массе
Это аналог теоремы Гаусса для электричества: ∫E · dS = Q / ε₀
Теорема Гаусса для гравитации отражает, что гравитационное поле всегда направлено к массе и нет отрицательных масс.