1 Сформулируйте закон сложения: а) перемещений; 6) скоростей.
Закон сложения перемещений говорит, что суммарное перемещение тела при последовательных перемещениях равно векторной сумме этих перемещений. Формула в простых символах выглядит как r = r1 + r2 + ... где плюс означает сложение векторов по координатам.
Закон сложения скоростей применяют при смене системы отсчёта и записывают так. Скорость тела в новой системе равна скорости того же тела в старой системе плюс скорость самой новой системы относительно старой. Если vаб означает скорость тела A относительно B, а vбс скорость системы B относительно C, то скорость тела относительно C равна vас = vаб + vбс. Это векторная запись то есть компоненты складываются покомпонентно.
2 Какую систему отсчёта принято называть: а) лабораторной; б) движущейся?
Лабораторной системой отсчёта называют систему, привязанную к неподвижным или условно неподвижным по задаче объектам то есть к земле, стенам лаборатории и так далее. Движущейся системой отсчёта называют систему, которая относительно выбранной лабораторной системы совершает движение с некоторой скоростью.
3 Чему равен модуль скорости сближения двух движущихся навстречу друг другу тел?
Если два тела движутся навстречу со скоростями v1 и v2 относительно одной и той же системы отсчёта, то модуль скорости их сближения равен сумме модулей этих скоростей vсбл = |v1| + |v2|. Это просто потому что расстояние между ними уменьшается суммой их проекций скоростей на линию соединения.
1. Автомобиль и мотоцикл движутся относительно Земли навстречу друг другу со скоростями, модули которых равны соответственно 20 м/с и 15 м/с. Расстояние между ними в начальный момент времени равно 250 м. Найдите графическим и аналитическим способами время встречи автомобиля с мотоциклом, связав систему отсчёта с автомобилем.
Переходим в систему отсчёта, связанную с автомобилем. В этой системе автомобиль покоится а мотоцикл движется навстречу со скоростью равной сумме скоростей в лабораторной системе то есть vотн = 20 + 15 = 35 м/с. Начальное расстояние равно 250 м поэтому время встречи t = расстояние делить на скорость то есть t = 250 / 35. Выполняю деление 250 ÷ 35 = 7,142857... секунд. Округляю до двух знаков после запятой t ≈ 7,14 с.
2. Через какое время автомобиль, движущийся со скоростью, модуль которой равен 108 км/ч, догонит велосипедиста, едущего в том же направлении со скоростью, модуль которой равен 10 м/с, если расстояние между ними в начальный момент времени равно 700 м? Решите задачу аналитическим способом, связав систему отсчёта с автомобилем.
Сначала перевод скорости автомобиля в метры в секунду. 108 км/ч = 108 ÷ 3,6 = 30 м/с. В системе отсчёта, связанной с автомобилем, автомобиль неподвижен а велосипедист едет назад относительно автомобиля со скоростью равной разности скоростей в лабораторной системе то есть vотн = 30 − 10 = 20 м/с. Расстояние 700 м поэтому время догоняния t = 700 ÷ 20 = 35 с.
3. Моторная лодка переплывает реку шириной 100 м. Модуль скорости течения реки равен 2 м/с, а модуль скорости лодки относительно воды равен 4 м/с (рис. 31). Под каким углом сх к течению должен быть направлен вектор скорости лодки, чтобы она оказалась на противоположном берегу точно напротив места старта? Определите скорость движения лодки относительно берегов и время переправы.
Обозначаю угол между направлением лодки относительно воды и направлением, перпендикулярным берегу, буквой α. Компонента скорости лодки по направлению течения должна компенсировать скорость течения чтобы суммарное продольное смещение по течению было нулевым. Это даёт уравнение vлодка · sin α = vтечения. Подставляю числа 4 · sin α = 2 поэтому sin α = 2 / 4 = 0,5 и α = 30 градусов.
Компонента скорости лодки через реку, перпендикулярная течению, равна vперп = 4 · cos 30°. cos 30° = √3/2 ≈ 0,8660254 поэтому vперп = 4 · 0,8660254 = 3,4641016 м/с. Так как продольная компонента компенсирует течение результирующая скорость лодки относительно берега по модулю равна именно vперп ≈ 3,464 м/с.
Время переправы t = ширина реки ÷ vперп = 100 ÷ 3,4641016 ≈ 28,8675 s. Округляю до двух знаков t ≈ 28,87 с.
4. По озеру движется катер со скоростью, модуль которой равен 10 м/c. К катеру прикреплен трос, за другой конец которого держится спортсмен на водных лыжах. Скорость катера направлена под углом 30 градусов к тросу, а скорость спортсмена - под углом 45 градусов к тросу. Определите модуль скорости спортсмена.
Если считать трос фиксированной длины, то относительная скорость вдоль троса равна нулю, значит проекции скоростей на направление троса равны. Обозначив скорость спортсмена u, получаем u·cos45° = 10·cos30°, отсюда u = 10·(cos30°/cos45°) = 10·sqrt(3/2) = 5·sqrt6 ≈ 12.247 м/с.
5. В вершинах равностороннего треугольника с длиной стороны L находятся три черепахи, размеры которых много меньше L. Первая черепаха смотрит на вторую, вторая — на третью, а третья — на первую. В некоторый момент черепахи начинают двигаться с одинаковыми по модулю скоростями. При этом каждая черепаха в любой момент времени движется в направлении той черепахи, на которую она смотрит. Определите время движения черепах до их встречи в центре квадрата.
При симметричном преследовании вершины образуют уменьшающийся равносторонний треугольник с радиусом до центра R = L/√3; радиальная составляющая скорости каждой черепахи равна v·cos30° = v·√3/2, следовательно R убывает с постоянной скоростью v·√3/2. Время до встречи в центре равно t = R/(v·√3/2) = 2L/(3v).