1. Как по графикам движения определить: а) место встречи тел; 6) время встречи тел?
По графикам зависимости координаты от времени (x(t)) место и время встречи — это координата и абсцисса точки пересечения двух графиков x₁(t) и x₂(t). В точке пересечения значения координат и времени у обоих тел равны, значит её абсцисса — это время встречи t_встр, а ордината — место встречи x_встр.
2. Поясните, зачем необходимо анализировать размерность полученного ответа.
Проверка размерности (единиц измерения) показывает, согласован ли результат с физикой задачи. Если, например, при делении метров на (метры/секунду) получается секунда — всё верно. Неверная размерность указывает на арифметическую или методическую ошибку.
3. Какие выводы позволяет сделать анализ полученного ответа?
Анализ даёт ответы на три вещи: 1) корректность вычислений (правильные единицы и неотрицательное время), 2) физическую смысловость результата (время положительно, место лежит на отрезке движения), 3) дает сигнал о возможной ошибке (отрицательное время, место вне рассматриваемой линии, слишком большая скорость — повод проверить исходные данные и формулы).
Упражнения
1. Автомобиль и мотоцикл движутся навстречу друг другу со скоростями, модули которых равны 30 м/с и 20 м/с соответственно. Расстояние между ними в начальный момент времени равно 150 м. Найдите аналитическим способом время встречи автомобиля с мотоциклом и расстояние, которое проехал мотоцикл.
Обозначим t время до встречи. При движении навстречу их относительная скорость v_rel = 30 + 20 = 50 м/с. По определению встречи: v_rel · t = начальное расстояние. Поэтому t = 150 / 50. Выполним деление: 150 ÷ 50 = 3. Единицы: м ÷ (м/с) = с. Значит t = 3 с. Путь мотоцикла s_мото = v_мото · t = 20 · 3 = 60 м. (Проверка размерности: м/с·с = м.)
2. Решите задачу 1 графическим способом.
На оси абсцисс отложите время t (в секундах), на оси ординат — координату вдоль прямой соединяющей тела. Пусть в момент t=0 автомобиль находится в точке x=0, а мотоцикл в x=150 м (или наоборот — важно только разность). Тогда у автомобиля x₁(t)=0+30·t, у мотоцикла x₂(t)=150−20·t (движется к нулю). Точка пересечения решает 30·t = 150−20·t ⇒ 50·t=150 ⇒ t=3 с. Ордината пересечения x=30·3=90 м (это место, отсчитанное от точки старта автомобиля). Графически это точка, где линии x₁(t) и x₂(t) пересекаются — её абсцисса 3 с, ордината 90 м. Мотоцикл прошёл до неё 60 м (150−90).
3. Муравей и черепаха движутся вдоль стены здания друг за другом. Муравей догоняет черепаху. В начальный момент времени расстояние между ними равно 75 см. Модуль скорости муравья равен 5 см/с, а модуль скорости черепахи равен 2.5 см/с. Когда муравей догонит черепаху? Решите задачу аналитическим и графическим способами.
Относительная скорость при догоне равна разности скоростей: v_rel = v_муравья − v_черепахи = 5 − 2.5 = 2.5 см/с. Время догоняния t = расстояние / v_rel = 75 / 2.5 = 30 с. Путь муравья за это время s_муравья = v_муравья · t = 5 · 30 = 150 см. Путь черепахи s_черепахи = v_черепахи · t = 2.5 · 30 = 75 см. Проверка: разница путей 150 − 75 = 75 см (равна начальному отставанию).
Постройте систему координат: ось t — время в секундах, ось x — координата вдоль стены в сантиметрах. Пусть в t = 0 черепаха находится в точке x = 0, а муравей в точке x = −75 (отстаёт на 75 см). Тогда уравнения движения: x_черепахи(t) = 0 + 2.5·t, x_муравья(t) = −75 + 5·t. Точка пересечения решает −75 + 5t = 2.5t → 2.5t = 75 → t = 30 с. Ордината точки пересечения x = 2.5·30 = 75 см. График даёт тот же результат.
4. Моська погналась за разозлившим её слоном. Модуль скорости слона равен 2 м/с, а модуль скорости Моськи — 12 м/с. Когда Моська догонит слона, если в начальный момент времени расстояние между ними равно 800 м?
Относительная скорость v_rel = 12 − 2 = 10 м/с. Время догоняния t = расстояние / v_rel = 800 / 10 = 80 с. Путь Моськи s_моськи = 12 · 80 = 960 м. Путь слона s_слона = 2 · 80 = 160 м. Проверка: 960 − 160 = 800 м — начальное отставание.