1. Что называют механической энергией системы тел?
Механическая энергия системы тел — это сумма её кинетической энергии, связанной с движением тел, и потенциальной энергии, обусловленной их взаимодействием. Она выражается формулой: Eм = Eк + Ep, где Eк — кинетическая энергия, Ep — потенциальная энергия.
2. Чему равно изменение механической энергии системы тел в ИСО?
Изменение механической энергии системы тел в инерциальной системе отсчёта (ИСО) равно работе внешних сил, действующих на систему, включая непотенциальные силы (например, силы трения). Если внешних сил нет или они являются потенциальными, механическая энергия остаётся неизменной.
3. Сформулируйте закон сохранения механической энергии. Следствием какого закона является этот закон?
Закон сохранения механической энергии гласит: В замкнутой системе тел, где действуют только потенциальные силы, полная механическая энергия остаётся постоянной: Eм = const, или Eк1 + Ep1 = Eк2 + Ep2.
Этот закон является следствием закона сохранения энергии, который утверждает, что энергия не исчезает и не возникает из ничего, а лишь переходит из одной формы в другую.
1 С башни высотой H бросают камень массой т вверх под углом а к горизонту. Модуль начальной скорости камня равен v0. Используя закон сохранения механической энергии, определите: а) максимальную высоту подъёма камня; 6) модуль скорости камня в верхней точке траектории; в) модуль скорости падения камня на Землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Максимальная высота подъёма камня На максимальной высоте вертикальная скорость камня становится равной нулю (vy = 0). Потенциальная энергия достигает максимума. Начальная полная энергия: E1 = (1/2) * m * v0² + m * g * H.
На максимальной высоте: E2 = (1/2) * m * (v0x)² + m * g * (H + hmax), где v0x = v0 * cos(a), а H + hmax — итоговая высота.
Сохраняя энергию: (1/2) * m * v0² + m * g * H = (1/2) * m * (v0 * cos(a))² + m * g * (H + hmax).
Упростим и выразим hmax: hmax = (v0 * sin(a))² / (2 * g).
Полная высота: Hmax = H + hmax = H + (v0 * sin(a))² / (2 * g).
Модуль скорости камня в верхней точке траектории В верхней точке сохраняется только горизонтальная составляющая скорости, так как вертикальная скорость равна нулю: vtop = v0 * cos(a).
Модуль скорости падения камня на Землю Полная энергия на начальной высоте равна полной энергии при ударе о землю. На земле потенциальная энергия равна нулю, а вся энергия сосредоточена в кинетической: (1/2) * m * v0² + m * g * H = (1/2) * m * v².
Выразим v: v² = v0² + 2 * g * H. v = sqrt(v0² + 2 * g * H).
Ответы: a) Максимальная высота подъёма: Hmax = H + (v0 * sin(a))² / (2 * g). b) Модуль скорости в верхней точке траектории: vtop = v0 * cos(a). c) Модуль скорости падения на Землю: v = sqrt(v0² + 2 * g * H).
2. Ядро массой 5 кг вылетело из ствола пушки под углом 30° к горизонту со скоростью, модуль которой равен 800 м/с. Через некоторое время ядро упало на Землю со скоростью, модуль которой равен 300 м/с. Определите работу, совершённую силой сопротивления воздуха над ядром.
Полная энергия в начальный момент: E1 = (1/2) * m * v1^2 E1 = (1/2) * 5 * 800^2 = 1,600,000 Дж
Полная энергия в конечный момент: E2 = (1/2) * m * v2^2 E2 = (1/2) * 5 * 300^2 = 225,000 Дж
Работа силы сопротивления: A = E2 - E1 A = 225,000 - 1,600,000 = -1,375,000 Дж
Ответ: Работа силы сопротивления равна -1,375,000 Дж.
3. К телу массой 2 кг прикладывают постоянную направленную вертикально вверх силу, модуль которой равен 50 Н. Определите кинетическую энергию и модуль скорости тела в тот момент, когда оно поднимется на высоту 10 м. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Рассчитаем кинетическую энергию и скорость тела, используя закон сохранения механической энергии.
Полная энергия в начальный момент состоит только из потенциальной энергии: E1 = m * g * h1, где начальная высота h1 = 0. E1 = 2 * 9.8 * 0 = 0 Дж.
Полная энергия в конечный момент: E2 = Eпот + Eкин. E2 = m * g * h + (1/2) * m * v^2.
Работа внешней силы: A = F * h = 50 * 10 = 500 Дж.
Закон сохранения энергии: A + E1 = E2.
Подставим значения: 500 + 0 = (2 * 9.8 * 10) + (1/2) * 2 * v^2. 500 = 196 + v^2. v^2 = 500 - 196 = 304. v = √304 ≈ 17.45 м/с.
Кинетическая энергия: Eкин = (1/2) * m * v^2 = (1/2) * 2 * 304 = 304 Дж. Ответ: Кинетическая энергия тела равна 304 Дж, модуль скорости тела равен 17.45 м/с.
4. Определите максимальное сжатие пружины, рассмотренной в задаче этого параграфа.
Для решения задачи применим закон сохранения механической энергии. Сначала будем учитывать потенциальную энергию бруска на высоте и его кинетическую энергию в момент максимального сжатия пружины.
Потенциальная энергия бруска в начале: Потенциальная энергия бруска на высоте H: E_пот = m * g * H, где m — масса бруска, g — ускорение свободного падения, H — высота, с которой брусок падает.
Кинетическая энергия бруска в момент максимального сжатия пружины: Когда брусок достигает максимального сжатия пружины, вся его потенциальная энергия переходит в кинетическую и потенциальную энергию пружины: E_кин = (1/2) * m * v^2 — кинетическая энергия бруска, E_пот_пружины = (1/2) * k * x^2 — потенциальная энергия сжатой пружины, где x — максимальное сжатие пружины, k — жёсткость пружины.
Закон сохранения механической энергии: В момент, когда брусок падает, его потенциальная энергия превращается в кинетическую и потенциальную энергию пружины, то есть: E_пот = E_кин + E_пот_пружины
m * g * H = (1/2) * m * v^2 + (1/2) * k * x^2
Модуль максимальной скорости: Для нахождения скорости в момент максимального сжатия пружины можно считать, что максимальная скорость достигается до того, как пружина начнёт сжиматься. При этом вся потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию, и пружина не оказывает сопротивления. Здесь максимальная скорость будет равна: v = √(2 * g * H)