1 По озеру движется катер. К катеру прикреплён трос, за другой конец которого держится спортсмен на водных лыжах. Угол между тросом и скоростью катера равен 30°, а угол между тросом и скоростью лыжника — 60° (рис. 76). Определите скорость лыжника, если модуль скорости катера равен 54 км/ч.
Переведём скорость катера в м/с. 54 км/ч = 15 м/с. По нерастяжимости троса проекции скоростей на направление троса равны по модулю. Значит vк·cos30° = vл·cos60°. Отсюда vл = vк · cos30° / cos60° = vк · √3. Подставляем vк = 15 м/с. vл = 15·√3 ≈ 25.98 м/с ≈ 93.5 км/ч.
2 Катушку, лежащую на горизонтальной крышке стола, тянут за конец А нерастяжимой нити, намотанной на её среднюю часть, так, что катушка катится без проскальзывания и её ось не изменяет своей ориентации относительно стола (рис. 77). Скорость движения точки A нити постоянна и равна Va. Определите скорость движения оси О катушки, если радиус r её средней части в 3 раза меньше радиуса R её щёк.
Обозначим скорость оси катушки V. Без проскальзывания на поверхности V = ωR, где ω угловая скорость. Скорость нити у точки намотки равна u = V + ωr. Подставляем ω = V/R. Получаем u = V(1 + r/R). Так как r = R/3, то u = V·(1 + 1/3) = V·4/3. Отсюда V = 3/4 · u. Итого скорость оси O равна 0.75·Vа.
3 Вырезанный из однородного листа металла равносторонний треугольник АВС движется по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорость Va вершины A этого треугольника оказалась перпендикулярной биссектрисе угла А, а скорость вершины В оказалась направленной вдоль стороны АВ. Определите для этого момента времени направление и модуль скорости вершины C и центра O треугольника.
Рассмотрим положение с мгновенным центром вращения O (точка пересечения перпендикуляров к направлениям скоростей в A и B). Для равностороннего треугольника со стороной a получаем расстояния от O до вершин: OA = 2a/√3, OB = OC = a/√3. Это даётотношения модулей скоростей при чистом вращении вокруг O. Если обозначить vB модуль скорости в B, то угловая скорость ω = vB / (a/√3) = vB·√3 / a. Тогда vA = ω·OA = 2·vB, vC = ω·OC = vB, скорость центра тяжести (центра) равна vG = ω·(расстояние G до O) = vB (для равностороннего треугольника расстояние O→центр = a/√3). Выводы в удобной форме Если задали vA, то vB = vC = vG = vA/2. Если задали vB, то vA = 2·vB, vC = vG = vB.
Направления vB направлена вдоль AB по условию. vA направлена перпендикулярно биссектрисе в A по условию. Мгновенный центр O лежит на вертикали через B (перпендикуляр к vB) и на биссектрисе из A (перпендикуляр к vA). Все скорости ориентированы перпендикулярно радиус-векторам от O к соответствующим вершинам. То есть vC направлена перпендикулярно OC и имеет тот же вращательный смысл (направление вращения совпадает с направлением vA и vB).